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Un gioielliere vuole imballare 3 bocce di cristallo di forma sferica e di diametro di 10 cm; ha trovato una scatola a forma di parallelepipedo di lati 16 cm x 16 cm x 20 cm. Dite, motivando la risposta, se è possibile far stare le 3 bocce nella scatola.

Avevo provato a fare questo problema un po' di tempo fa, senza troppo successo. =)

Tuttavia l' idea che forse è utile è questa: se ci stessero i centri delle tre sfere dovrebbero stare dentro una scatola 6 cm x 6 cm x 10 cm e dovrebbero essere distanziati l' uno dall' altro almeno 10 cm. Facendo un po' di conti sulle configurazioni ciò sembra impossibile (mi sembra si ottenga al più un triangolo con due lati maggiori di dieci e uno uguale a radice di novantasette) ma una dimostrazione rigorosa di quest' ultimo fatto non l' avevo trovata.

Come detto prima i tre centri devono stare in un rettangolo 6x6x10 e devono avere distanza maggiore o uguale a 10.
Dividiamo questo "parallelepipedino" in due "parallelepipedinini" di 6x6x5, la distanza massima all'interno di queste figure è di radice di 97 (provare per credere ) che è strettamente minore di 10. Pertanto due centri non potranno stare nello stesso "parallelepipedinino" quindi sarà impossibile riempire la scatola.

E quindi avendo \(n\) sfere di raggio \(r\) quali parallelepipedi di lati \(a,b,c\) possono contenerlo?

Beh innanzitutto sottolineo che anche se viene soddisfatta una situazione come la precedente... Quella dei parallelepipedinini per intenderci... Non abbiamo la certezza che effettivamente le sfere ci stiano... In poche parole la mia era una condizione necessaria, ma non sufficiente.

Ok grazie mille!

E' vero, è vero, però si può pensare forse in modo più generale al problema inverso: date \(n\) sfere di raggio \(r\), qual'è il parallelepipedo con volume minore che le può contenere tutte?

Ah ecco, mi pareva!
http://en.m.wikipedia.org/wiki/Kepler_conjecture

Quindi il migliore impacchettamento è quello esagonale, ed è stato (quasi) dimostrato solo qualche anno fa...

Già. Ma le dissertazioni in merito (per ciò che conosco io) sono molto interessanti!