$2xy^2-y^3+1 \mid x^2$
$2xy^2-y^3+1 \mid x^2$
Trovare tutti gli interi positivi $x,y$ tali che $x^2$ è divisibile per $2xy^2-y^3+1$.
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darkcrystal
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Re: $2xy^2-y^3+1 \mid x^2$
Figo questo problema! L'hai inventato tu? Altrimenti, potrei sapere da dove viene?
"Solo due cose sono infinite: l'universo e la stupidità dell'uomo, e non sono tanto sicuro della prima" - Einstein
Membro dell'EATO
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Re: $2xy^2-y^3+1 \mid x^2$
Grazie ma non è mio.. è un imo shortlist, anno 2003 
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Troleito br00tal
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Re: $2xy^2-y^3+1 \mid x^2$
Mi unisco alla complimenza!
Sia $k$ l'intero positivo tale che $x^2=k(2xy^2-y^3+1)$.
Consideriamo l'equazione in $x$: $x^2-x(2ky^2)+(ky^3-k)$. Il delta di questa, avendo essa solo soluzioni intere, è necessariamente un quadrato perfetto.
Il delta dell'equazione è $4k^2y^4-4ky^3+4k$.
Supponiamo $y=1$. È facile ricavare nella condizione di divisibilità iniziale che $2x|x^2 \rightarrow 2|x$.
Supponiamo $y>1$. Ma allora valgono:
-$4k^2y^4-4ky^3+4k<(2ky^2-y+1)^2$, poiché $4k^2y^4-4ky^3+4k<4k^2y^4-4ky^3+y^2+4ky^2-2y+1 \rightarrow 4k<4ky^2+(y-1)^2$, vera se $y>1$;
-$4k^2y^4-4ky^3+4k>(2ky^2-y-1)^2$, poiché $4k^2y^4-4ky^3+4k>4k^2y^4-4ky^3+y^2-4ky^2+2y+1 \rightarrow 4k(y^2+1)>(y+1)^2$, vera se $k>0$ e se $y>1$.
Ma allora $4k^2y^4-4ky^3+4k=(2ky^2-y)^2$, perché è un quadrato. Da questo si ottiene che $4k=y^2$. Da ciò si ottiene che $y$ è pari, poniamo quindi $y=2z$. Inoltre $k=z^2$.
Ma allora, sostituendo nell'equazione iniziale, otteniamo $x^2=z^2(8xz^3-8z^3+1)$. Risovendo questa equazione in $x$, otteniamo $x=z$ o $x=8z^4-z$.
Pertanto le soluzioni (che verificano) sono solo $y=1$ e $x$ pari, $y=2z;x=z$ o $y=2z;x=4z^3-z$ con $z$ intero positivo.
Sia $k$ l'intero positivo tale che $x^2=k(2xy^2-y^3+1)$.
Consideriamo l'equazione in $x$: $x^2-x(2ky^2)+(ky^3-k)$. Il delta di questa, avendo essa solo soluzioni intere, è necessariamente un quadrato perfetto.
Il delta dell'equazione è $4k^2y^4-4ky^3+4k$.
Supponiamo $y=1$. È facile ricavare nella condizione di divisibilità iniziale che $2x|x^2 \rightarrow 2|x$.
Supponiamo $y>1$. Ma allora valgono:
-$4k^2y^4-4ky^3+4k<(2ky^2-y+1)^2$, poiché $4k^2y^4-4ky^3+4k<4k^2y^4-4ky^3+y^2+4ky^2-2y+1 \rightarrow 4k<4ky^2+(y-1)^2$, vera se $y>1$;
-$4k^2y^4-4ky^3+4k>(2ky^2-y-1)^2$, poiché $4k^2y^4-4ky^3+4k>4k^2y^4-4ky^3+y^2-4ky^2+2y+1 \rightarrow 4k(y^2+1)>(y+1)^2$, vera se $k>0$ e se $y>1$.
Ma allora $4k^2y^4-4ky^3+4k=(2ky^2-y)^2$, perché è un quadrato. Da questo si ottiene che $4k=y^2$. Da ciò si ottiene che $y$ è pari, poniamo quindi $y=2z$. Inoltre $k=z^2$.
Ma allora, sostituendo nell'equazione iniziale, otteniamo $x^2=z^2(8xz^3-8z^3+1)$. Risovendo questa equazione in $x$, otteniamo $x=z$ o $x=8z^4-z$.
Pertanto le soluzioni (che verificano) sono solo $y=1$ e $x$ pari, $y=2z;x=z$ o $y=2z;x=4z^3-z$ con $z$ intero positivo.