$2abx^4-a^2x^2-b^2-1=0$

[jordan]

Mostrare che l'equazione $2abx^4-a^2x^2-b^2-1=0$ non ha soluzioni intere.

(Dan Schwarz)

[Lasker]

Domanda probabilmente stupida: $a$ e $b$ sono naturali, interi, razionali, reali o complessi?

[scambret]

Se $a$ e $b$ sono interi, allora ho dimostrato che $x$ non è intero. Se qualcun altro ci vuole provare, metto la mia soluzione in hide che è carina.

Testo nascosto:

Scriviamo l'uguaglianza come $2abx^4-1=a^2x^2+b^2$ oppure come $2abx^4+2abx-1=a^2x^2+2abx+b^2$, cioè $2abx(x^3+1)-1=(ax+b)^2$; supponiamo che $x$ è intero. Dato che o $x$ o $x^3+1$ è pari, il LHS risulta congruo a $3$ modulo $4$, cioè esiste $c$ t.c. $c^2 \equiv 3 \pmod 4$, assurdo.

[jordan]

Si, $a,b,x$ interi; hai trovato esattamente la mia http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 7&t=559027

[darkcrystal]

Equivalentemente,

Testo nascosto:

siccome $x^2 \equiv x^4 \pmod 4$, l'attrezzo in questione è congruo a $-(b-ax^2)^2-1 \pmod 4$.