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$2abx^4-a^2x^2-b^2-1=0$

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$2abx^4-a^2x^2-b^2-1=0$

Inviato: 25 ott 2013, 07:30
da jordan
Mostrare che l'equazione $2abx^4-a^2x^2-b^2-1=0$ non ha soluzioni intere.

(Dan Schwarz)

Re: $2abx^4-a^2x^2-b^2-1=0$

Inviato: 25 ott 2013, 18:03
da Lasker
Domanda probabilmente stupida: $a$ e $b$ sono naturali, interi, razionali, reali o complessi?

Re: $2abx^4-a^2x^2-b^2-1=0$

Inviato: 25 ott 2013, 18:27
da scambret
Se $a$ e $b$ sono interi, allora ho dimostrato che $x$ non è intero. Se qualcun altro ci vuole provare, metto la mia soluzione in hide che è carina.
Testo nascosto:
Scriviamo l'uguaglianza come $2abx^4-1=a^2x^2+b^2$ oppure come $2abx^4+2abx-1=a^2x^2+2abx+b^2$, cioè $2abx(x^3+1)-1=(ax+b)^2$; supponiamo che $x$ è intero. Dato che o $x$ o $x^3+1$ è pari, il LHS risulta congruo a $3$ modulo $4$, cioè esiste $c$ t.c. $c^2 \equiv 3 \pmod 4$, assurdo.

Re: $2abx^4-a^2x^2-b^2-1=0$

Inviato: 26 ott 2013, 21:01
da jordan
Si, $a,b,x$ interi; hai trovato esattamente la mia http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 7&t=559027 :wink:

Re: $2abx^4-a^2x^2-b^2-1=0$

Inviato: 26 ott 2013, 21:22
da darkcrystal
Equivalentemente,
Testo nascosto:
siccome $x^2 \equiv x^4 \pmod 4$, l'attrezzo in questione è congruo a $-(b-ax^2)^2-1 \pmod 4$.
Tutti gli orari sono UTC+02:00
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