Innanzitutto un fatto scontato ma necessario:
\(U_p = \{ \zeta^i \ \ : \ \ \zeta^p =1, \zeta \neq 1, 1 \le i \le p-1 \}\)
Proseguiamo con il
Passo Base: \(S(0) = \frac{p-1}{2}\)
Infatti:
\(\displaystyle 2S(0) = 2 \sum_{i=1}^{p-1}{ \frac{1}{1-\zeta^i} } = \sum_{i=1}^{p-1}{ \left ( \frac{1}{1-\zeta^i} + \frac{1}{1-\zeta^{p-i}} \right ) } = \sum_{i=1}^{p-1}{ \frac{2-\zeta^i-\zeta^{p-i} }{2-\zeta^i -\zeta^{p-i} } } = p-1\)
And then il
Passo Nostalgia di Geometria (nonchè conclusione): \(S(k) = k- \frac{p+1}{2}\)
Per \(k \ge 1\) (eh perchè se no una sommatoria in mezzo non ha senso) vale, usando la geometrica in "entrambi i versi":
\(\displaystyle S(0) -S(k) = \sum_{i=1}^{p-1}{ \frac{1-\zeta^{ki} }{1-\zeta^i } } = \sum_{i=1}^{p-1} \sum_{j=0}^{k-1} {\zeta^{ij} } = \sum_{j=0}^{k-1} \sum_{i=1}^{p-1} {\zeta^{ij} } = \sum_{i=1}^{p-1}{\zeta^0}+ \sum_{j=1}^{k-1} \sum_{i=1}^{p-1} {\zeta^{ij} } = p-1+\sum_{j=1}^{k-1} {\zeta^i \frac{1-\zeta^{(p-1)i } }{1-\zeta^i} } =\)
\(\displaystyle = p-1 + \sum_{j=1}^{k-1}{ \frac{ \zeta^i -1}{1-\zeta^i} }= p-k\)
da cui, sfruttando il passo base:
\( S(k) = \frac{p-1}{2}- (p-k) = k- \frac{p+1}{2}\)
Q.E.D.
Mioddio non immagini quanto mi divertono i problemi sulle radici dell'unità, sono i più truccosi della terra!
Se ne conosci altri e ti va di postarli, puoi star certo che li proverò
\( \displaystyle \sigma(A,G) \ \ = \sum_{Y \in \mathscr{P}(A) } \dot{\chi_{|G|} } (Y) \) bum babe
