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Sia $p$ un primo dispari e $U_p$ l'insieme delle radici $p$-esime dell'unità diverse da 1.Per $0 \leq k \leq p-1$ consideriamo la quantità
\[
\displaystyle S(k) = \sum_{\zeta \in U_p} \frac{\zeta^k}{1-\zeta}.
\]

Mostrare che $S(k)$ è un intero, e calcolarlo (personalmente ho fatto le due cose insieme, per cui non so se la prima domanda sia sostanzialmente più facile della seconda...). Se siete bloccati,

Innanzitutto un fatto scontato ma necessario:
\(U_p = \{ \zeta^i \ \ : \ \ \zeta^p =1, \zeta \neq 1, 1 \le i \le p-1 \}\)

Proseguiamo con il
Passo Base: \(S(0) = \frac{p-1}{2}\)
Infatti:
\(\displaystyle 2S(0) = 2 \sum_{i=1}^{p-1}{ \frac{1}{1-\zeta^i} } = \sum_{i=1}^{p-1}{ \left ( \frac{1}{1-\zeta^i} + \frac{1}{1-\zeta^{p-i}} \right ) } = \sum_{i=1}^{p-1}{ \frac{2-\zeta^i-\zeta^{p-i} }{2-\zeta^i -\zeta^{p-i} } } = p-1\)

And then il
Passo Nostalgia di Geometria (nonchè conclusione): \(S(k) = k- \frac{p+1}{2}\)
Per \(k \ge 1\) (eh perchè se no una sommatoria in mezzo non ha senso) vale, usando la geometrica in "entrambi i versi":

\(\displaystyle S(0) -S(k) = \sum_{i=1}^{p-1}{ \frac{1-\zeta^{ki} }{1-\zeta^i } } = \sum_{i=1}^{p-1} \sum_{j=0}^{k-1} {\zeta^{ij} } = \sum_{j=0}^{k-1} \sum_{i=1}^{p-1} {\zeta^{ij} } = \sum_{i=1}^{p-1}{\zeta^0}+ \sum_{j=1}^{k-1} \sum_{i=1}^{p-1} {\zeta^{ij} } = p-1+\sum_{j=1}^{k-1} {\zeta^i \frac{1-\zeta^{(p-1)i } }{1-\zeta^i} } =\)
\(\displaystyle = p-1 + \sum_{j=1}^{k-1}{ \frac{ \zeta^i -1}{1-\zeta^i} }= p-k\)

da cui, sfruttando il passo base:
\( S(k) = \frac{p-1}{2}- (p-k) = k- \frac{p+1}{2}\)
Q.E.D.

Mioddio non immagini quanto mi divertono i problemi sulle radici dell'unità, sono i più truccosi della terra!
Se ne conosci altri e ti va di postarli, puoi star certo che li proverò

Ok, mi pare che torni! E c'è un nuovo problema (certamente truccosissimo...) per te o chiunque voglia provare