$x^2+3n^2-1=y^3$

[Troleito br00tal]

Dimostrare che per ogni $n$ intero esistono interi $x;y$ tali che $x^2+3n^2-1=y^3$.

[<enigma>]

$\displaystyle (x,y)=(8n^3-3n, 4n^2-1)$

[Troleito br00tal]

Bon. Come le hai trovate?

[<enigma>]

Krante potere di scenzia!

[Drago96]

Di più: il potere della TdN!
La Matematica è la regina delle scienze e l'aritmetica è la regina della Matematica

That said, io avrei fatto così:
- cerco di parametrizzare $x,y$ come polinomi in $n$; $x$ allora sarà di terzo grado e $y$ di secondo quindi $x=a_3n^3+a_2n^2+a_1n+a_0$ e $y=b_2n^2+b_1n+b_0$
- modulo $n^2$ ho che $x^2-1\equiv y^3$; eguaglio i coefficienti e ottengo $2a_1a_0=3b_1b_0^2$ e $a_0^2-1=b_0^3$
- parto dalla seconda, perché ha ben poche soluzioni, ovvero $(a_0,b_0)=(\pm3,2),(\pm1,0),(0,-1)$
- metto questi valori nella seconda e trovo un po' di relazioni a seconda dei casi (ad esempio $a_1=\pm2b_1,a_1=0,b_1=0$)
- mi scrivo $y^3-x^2$ come polinomi e guardo il coefficiente di $n^2$: nei primi due casi ho $\text{roba pari}=3$, quindi mi rimane l'ultimo
- ho un po' di relazioni tra gli $a$ e i $b$, in particolare $a_3^2=b_2^3$; sarebbe figo se fossero potenze dello stesso numero, magari 2; quindi provo $b_2=4$; mi torna anche il coefficiente di $n^2$. A questo punto il coefficiente $a_2$ deve essere $0$
- boh, ho ottenuto la coppia di sopra e vedo che funziona davvero

Ho omesso tanti dettagli perché sono conti, come in alcuni altri problemi sui polinomi...

Attendo per vedere se enigma ci svela un potere di scenzia ankora più ENORME!

[Troleito br00tal]

Ma siete sa(ta)n[t]i! Perché nessuno scompone $x^2+3n^2-1$?