Numeri perfetti

[Gottinger95]

Dimostrare che i numeri perfetti pari sono tutti e soli quelli della forma \( \frac{1}{2} M_n (M_n +1)\), con \(M_n\) primo di Mersenne.

Numero perfetto \(n\): la somma dei suoi divisori diversi da \(n\) è uguale a \(n\) stesso.
Primo di Mersenne \(M_n\): primo tale che \(M_n=2^n-1\).

E' strabello, non troppo difficile, e penso che non sia passato sull'oliforum recentemente. Divertitevi!

[<enigma>]

...e tuttora irrisolto. Fai attenzione ai dettagli quando scrivi i testi.

[Gottinger95]

L'ho corretto!

[aetwaf]

$M_n+1=2^n$ e $M_n=2^n-1$ primo, quindi i divisori saranno i numeri del tipo $2^k$, $k<n$ e i numeri del tipo $M_n(2^k)$, $k<n$ quindi la somma deve essere $M_n(2^n-1)+2^n-1$ cioè $M_n(M_n+1)$. Ora sottraiamo il numero di partenza e otteniamo $\frac 1 2M_n(M_n+1)$.
Ora provo a dimostrare che sono solo quelli ma non sono sicuro.
Ora generalizzando se un numero è $k2^n$ e sia $x$ la somma dei divisori di $k$ allora la somma dei divisori di $k2^n$ sarà $x+2x+4x+...+x2^n-k2^n$ e deve essere uguale a $k2^n$. Da cui $x(2^{n+1}-1)=k2^{n+1}$ e l'unica soluzione è $k=2^{n+1}-1$ e $x=2^{n+1}$ ma allora $x=k+1$ e anche alla somma dei divisori di $k$ perciò $k=2^{n+1}-1$ è primo e $k2^n=\frac 1 22^{n+1}(2^{n+1}-1)$. $M_n=2^{n+1}-1$.
Se questo è giusto la prima parte risulta superflua.