Corso Prime: Pb. 18.2 (colorazioni prisma)

[matematik]

Il problema 18 della lista 2 e' il seguente:

In quanti modi posso colorare le facce (basi comprese!) di un prisma regolare a base ettagonale usando 2 colori?
Come sempre due colorazioni vanno considerate identiche se esiste un movimento rigido che le porta a coincidere.

Okkio: il risultato indicato inizialmente non e' corretto.
Comunque nella nuova lista con le risposte e' stata riportata la correzione.
La trovate linkata (scusate se mi ripeto) alla solita pagina del corso:

http://www.problemisvolti.it/CorsoBaseO ... atica.html

Ciao a tutti.

[matematik]

Suggerimento: Prima e' meglio risolvere i seguenti sotto-problemi:

(A) In quanti modi diversi posso colorare (di bianco o di nero) i 7 lati di un ettagono regolare? (P.B. risolto nel video della 5^ parte della lezione 2)

(B) Quante diverse collane di 7 perline posso fare usando perline bianche o nere? (P.B. 16.2)

Okkio che nel sotto-problema (B) le collane vanno considerate identiche se possono essere sovrapposte ruotandole o rovesciandole, mentre nel sotto-problema (A) le colorazioni vanno sovrapposte solo ruotandole.
Ovviamente le perline del sotto-problema (B) e i lati dell'ettagono del sotto-problema (A) rappresentano le facce laterali del prisma, quando si affronta il problema distinguendo i casi in cui le due basi siano colorate con lo stesso colore oppure con colori diversi (a seconda dei casi il prisma puo' essere solo ruotato o anche rovesciato)

Il video con la soluzione di (A) lo trovate linkato alla solita pagina del corso (parte 5 della lezione 2):

http://www.problemisvolti.it/CorsoBaseO ... atica.html


mentre il problema (B) e' gia' stato discusso nel forum in:

viewtopic.php?f=16&t=18505

Attenzione che se si va a leggere la discussione sul sotto-problema (B) senza prima aver capito la soluzione del sotto-problema (A) si rischia di non capire nulla!

[Tibullus]

Testo nascosto:

Io ne conto 60 invece di 56:

• prisma tutto dello stesso colore 2
• prisma dello stesso colore sui lati e con basi dello stesso colore, ma il colore delle basi è diverso da quello dei lati 2
• prisma dello stesso colore sui lati e con basi di colore diverso 2
• prisma con basi dello stesso colore e con due colori sui lati 18 * 2
• prisma con basi di colore diverso e con due colori sui lati 18

in totale 2 + 2 + 2 + 18 * 2 + 18 = 60.

Dove sbaglio?

[Problem 3n+1]

Suggerimento: Prima e' meglio risolvere i seguenti sotto-problemi:

(A) In quanti modi diversi posso colorare (di bianco o di nero) i 7 lati di un ettagono regolare? (P.B. risolto nel video della 5^ parte della lezione 2)

(B) Quante diverse collane di 7 perline posso fare usando perline bianche o nere? (P.B. 16.2)

Okkio che nel sotto-problema (B) le collane vanno considerate identiche se possono essere sovrapposte ruotandole o rovesciandole, mentre nel sotto-problema (A) le colorazioni vanno sovrapposte solo ruotandole.
Ovviamente le perline del sotto-problema (B) e i lati dell'ettagono del sotto-problema (A) rappresentano le facce laterali del prisma, quando si affronta il problema distinguendo i casi in cui le due basi siano colorate con lo stesso colore oppure con colori diversi (a seconda dei casi il prisma puo' essere solo ruotato o anche rovesciato)

Il video con la soluzione di (A) lo trovate linkato alla solita pagina del corso (parte 5 della lezione 2):

http://www.problemisvolti.it/CorsoBaseO ... atica.html


mentre il problema (B) e' gia' stato discusso nel forum in:

http://www.oliforum.it/viewtopic.php?f=16&t=18505

Attenzione che se si va a leggere la discussione sul sotto-problema (B) senza prima aver capito la soluzione del sotto-problema (A) si rischia di non capire nulla!

Scusate ma qualcuno potrebbe spiegarmi la formula del problema 16.2 scritta nel foglio delle risposte? Non sono riuscito a capire la soluzione discussa nel forum, ma ho trovato un procedimento a modo mio (che ho scritto qui sotto). Penso però che tale procedimento sia un po' complesso e complicato percui volevo sapere l'idea dietro la formula. Grazie mille.
Il mio ragionamento comunque è questo:

Testo nascosto:

Nell'insieme S di tutti i possibili accostamenti, numerando le perle (senza quindi tenere conto delle rotazioni e dei rovesciamenti), ho 2^7 abbinamenti. Nella maggiorparte dei casi quando rovescio un accostamento ne ottengo uno nuovo (che però deve essere considerato congruente al primo). Se due accostamenti sono congruenti per il rovesciamento allora lo sono a due a due anche le loro 7 rotazioni. I tipi di classe di equivalenza perciò sono 3:
1 per i due abbinamenti formati da perle di un solo colore
7 per gli accostamenti che rovesciati si sovrappongono a se stessi o a loro rotazioni
14 per tutti gli altri abbinamenti
Quando si rovescia un accostamento lo si fa ruotare attorno a uno dei suoi sette assi orizzontali (intesi come rette che dividono l'accostamento in due parti formate ognuna da 3,5 perle) e visto che si sovrappone tale asse deve essere un asse di simmetria dell'abbinamento. Inoltre tale asse è unico poiché se per assundo un accostamento avesse più assi di simmetria esso dovrebbe essere per forza formato da perle dello stesso colore (questo l'ho "dimostrato" empiricamente). Perciò basta che si scelga il colore di 4 perle consecutive (a patto che non siano tutte dello stesso colore) e un opportuno asse di simmetria e si otterrà un accostamento appartenete alla classe di 7. Ho perciò 2^4 abbinamenti meno i due formati da perle dello stesso colore. Ora basta togliere all'insieme S i due accostamenti della classe di 1 e gli accostamenti della classe di 7 (ossia 14 x 7) e dividere tutto per 14 (ottenendo il numero totale delle classi di 14). Infine aggiungo i 16 abbinamenti che ho tolto all'inizio. Si ha:
[math]\frac{2^7-2-14\cdot7}{14}+2+14=\frac{128-100}{14}+16=2+16=18