Kansooooor su un dado multiplo di $5$

[Troleito br00tal]

Qual è la probabilità che lanciando $24$ dadi a $6$ facce la somma sia multipla di $5$?

[Triarii]

Mh, non sono sicurissimo, ma ce provo lo stesso.
Intanto notiamo che lancinado un dado abbiamo $\frac {1} {6}$ di probabilità che esca un esponente delle classi di resto 2, 3, 4, 5 mod 5 e $\frac {2} {6}$ che ne esca uno della classe di resto 1 mod 5
Sia $p_i (n)$ la probabilità che al lancio n la somma sia congrua a i modulo 5. Vogliamo calcolare qunato vale $p_5 (24)$
$p_5 (24)=\frac {1} {6}p_1 (23) +\frac {1} {6} p_2 (23) +\frac {1} {6} p_3 (23) + \frac {2} {6} p_4 (23)+ \frac {1} {6} p_5(23)$ .
Spalmando i due sesti che moltiplicano $p_4 (23)$ e raccogliendo otteniamo
$\frac {1} {6} (p_1(23)+p_2(23)+p_3(23)+p_4(23)+p_5(23))+\frac {1} {6} p_4(23)=\frac {1} {6} +\frac {1} {6} p_4 (23)$.
Ora siamo riusciti nell'intento di far dipendere la nostra probabilità da quella che esca una determinata classe di resto al lancio precedente. Se ripetiamo lo stesso giochino, otteniamo la stessa dipendenza di $p_4 (23)$ da $p_3 (22)$, e così via. Chiamando $a_n$ la probabilità della classe di resto che ci interesssa al lancio $n$ otteniamo $a_n=\frac {1} {6} a_{n-1} +\frac {1} {6}$ , che è una successione mista, nella quale possiamo ricavarci il termine $a_n$ rispetto a $a_1$ con la relazione
$$ a_n=\left (\frac {1} {6}\right )^{n-1}a_1+\frac {1} {6} \frac {1-(\frac {1} {6})^{n-1}} {1-\frac {1} {6}}$$
Facendo a ritroso il percorso otteniamo che $a_1=p_2 (1)=\frac {1} {6}$.
Quindi lo possiamo sostituire nella formula ponendo $n=24$, ottenendo $p_5(24)=\frac {1} {5}-(\frac {1} {6})^{23}\frac {1} {30}$

[Troleito br00tal]

Bene!