166. $1+km^3$ cubo solo per $m=n$

[jordan]

Dato un intero positivo $n$, mostrare che esistono infiniti interi positivi $k$ tali che $1+kn^3$ è un cubo, mentre $1+km^3$ non lo è per ogni intero $1\le m\le n-1$.

(Nazionali Turche 2013)

[Triarii]

Intanto dimostriamo che esistono infiniti $k$ tali che $1+kn^3$ è cubo.
Basta prendere $k=3n^{l-3}+3n^{2l-3}+n^{3l-3}$ con $l\ge 3$ e intero. Infatti moltiplicando questa quantità per $n^3$ e aggiungendo $1$ otteniamo $(n^l+1)^3$, che è sempre cubo al variare degli infiniti $l$.
Dimostriamo ora che dato $k$, per $m<n$, $1+km^3$ non è un cubo.
Vale $(mn^{l-1}+1)^3=m^3n^{3l-3}+3m^2n^{2l-2}+3mn^{l-1}+1\ge1+km^3=1+(3n^{l-3}+3n^{2l-3}+n^{3l-3})m^3>(mn^{l-1})^3$
Il segno di uguale nella prima disuguaglianza vale solo per $m=n$ (basta vedere cose succede agli esponenti della quantità a sinistra e vedere che si uguagliano a quelli della quantità di mezzo solo per $m=n$, altrimenti ogni termine dello sviluppo a sinistra diverso da 1 e m^3n^{3l-3} maggiora il rispettivo termine a destra dato che $n>m$). Quindi per $m<n$ la nostra quantità è compresa fra 2 cubi consecutivi, quindi non è un cubo.

[jordan]

Perfetto, vai col prossimo!