State in ocio

[Kfp]

Sia $ABC$ un triangolo, $\omega$ il suo incerchio e $M$ il punto medio del lato $BC$. Siano $D$, $E$ le intersezioni di $AM$ con $\omega$, e siano inoltre $P$, $Q$ le intersezioni tra $\omega$ e le parallele a $BC$ passanti per $D$ ed $E$, rispettivamente. Siano infine $R$ ed $S$ le intersezioni tra $BC$ e, rispettivamente, $AP$ ed $AQ$.

Dimostrare che $BR = CS$

[Kfp]

Up... pur non essendo proprio facile, il problema ha in sè diversi fatti/approcci/coseacaso che a mio parere torna utile sapere, oltre al fatto che è bello. Metto un hint, intanto

Testo nascosto:

Ho dei parallelismi, dunque smanettiamo un po'con Talete... riesco a riscrivere la tesi come relazione di segmenti che stanno sulla stessa retta passante per A? Questo dovrebbe far venire in mente qualcosa(o magari no)

[Kfp]

Bella regà, allora, visto che io credo fermamente nel problema e nel suo essere bello e utile, diamo una mano più corposa: risolvo io per bene la parte hintata sopra, e lascio a voi il resto.

Testo nascosto:

Innanzitutto, nel mio disegno $Q$ è il punto più vicino al lato $BC$ dei due, in modo da evitare problemi di configurazione brutti. Sia $T$ l'intersezione tra $QE$ ed $AP$, e sia$R$ l'intersezione tra $AM$ e $PQ$. La tesi è banalmente equivalente a mostrare $QE = ET$. Ora, per Talete abbiamo che
$$\frac{ET}{DP}= \frac{EA}{DA}$$
e
$$\frac{QE}{DP} = \frac{ER}{RD}$$
Adesso: dall aprima relazione isoliamo $ET$, dalla seconda isoliamo $QE$ ed uguagliamoli per ottenere una cosa da dimostrare che, visto che discende direttamente dall'uguaglianza $QE = ET$, è equivalente alla tesi. Essa è, dopo aver semplificato i $DP$ da entrambe le parti:
$$\frac{AE}{AD} = \frac{ER}{RD}$$
Che riscriviamo saggiamente come
$$\frac{AE \cdot RD}{AD \cdot ER}=1$$
che riconosciamo essere l'espressione di un birapporto, ed in particolare che il birapporto
$$( A , R ; D , E )$$
sia armonico. Adesso, ho un birapporto che deve essere armonico, due punti del quale stanno su una circonferenza. Non c'era un fatto noto, che si usa anche per dimostrare il Lemma della Polare, che mi torna utile in situazioni come questa?

[Troleito br00tal]

Siano $\omega_1$ e $\omega_2$ le due circonferenze distinte passanti per $M$ e tangenti ad $AB$ e ad $AC$. Poiché le due circonferenze sono omotetiche rispetto a $\omega$ in $A$, i punti $R$ ed $S$ saranno le due ulteriori intesezioni tra $\omega_1$ e $\omega_2$ con $BC$. Siano inoltre $B_1;B_2;C_1;C_2$ i $4$ punti di tangenza delle $2$ circonferenze sui lati. Per ragioni di potenza vale $BB_1^2=BR \cdot BM$ e $CC_1^2=CR \cdot CM$. Ma allora $BB_1^2+CC_1^2=\frac{BC^2}{2}$, da cui, analogamente per $\omega_2$, $BB_1^2+CC_1^2=BB_2^2+CC_2^2$. Poiché i lati sono le tangenti esterne delle due circonferenze, vale $BB_1+BB_2=CC_1+CC_2$. Utilizzando le due equazioni si ottiene $BB_1=CC_2$ e $BB_2=CC_1$, da cui segue $BR=CS$.