89. Irrazionali

[Triarii]

Siano $a, b$ due reali non nulli tali che
$$a^2b^2(a^2b^2+4)=2(a^6+b^6)$$
Dimostrare che $a$ e $b$ non sono razionali.

[karlosson_sul_tetto]

Domanda: ma perché sta in Algebra? Cioé, mi pare molto di più un problema da TdN.

[Half95]

volevo chiedere un chiarimento.. se uno procede in questo modo:

$ a^2b^2(a^2b^2+4)=2(a^6+b^6) $

sommo da entrambe le parti $ 4a^3b^3 $

e ottengo

$ a^2b^2(a^2b^2+4ab+4)=2a^6+2b^6+4a^3b^3 $

visto che sicuramente sono numeri positivi posso fare la radice (?) e ottengo:

$ ab(ab+4)=\sqrt2\sqrt{a^6+b^6+2a^3b^3} $

giunto a questo punto posso dire che è assurda???

[karlosson_sul_tetto]

Bè, dovresti spiegare il perché. Se vuoi dire che è irrazionale perché c'è la radice di due, ciò non è vero, potrebbe esserci un fattore due lasciato in sospeso in $a^6+b^6+4a^3b^3$.

[Triarii]

Concordo con Karlosson.
Comunque in effetti più che ci penso e più mi convinco chehai ragione quando dici che è più di TdN che di algebra (non so perchè l'ho postato di getto)
Se la cosa vi può consolare vi dico che comunque non è così TdNoso alla fine, però se volete lo cambio il problema

[scambret]

Sarò scemo io, ma se uno segue la strada di Half95 ottiene
$$(ab)^2(ab+2)^2=2(a^3+b^3)^2$$
e quindi se $a,b$ sono entrambi razionali è un pò assurda, perchè otterei $\displaystyle \frac{x^2}{y^2}=2$ che....

Ora così non se ne ottengono due, ma uno si, wlog $a$ è irrazionale.....

Ora per Half95, come si continua?

[Triarii]

Ok scambret, passa pure al prossimo
L'altro metodo era quello di fattorizzare$\rightarrow$ legge annullamento prodotto $\rightarrow$ rapporto soluzioni impossibile se razionali, e si vede abbastanza bene che deve valere per entrambi (che essenzialmente è il tuo)

[Half95]

Bè, dovresti spiegare il perché. Se vuoi dire che è irrazionale perché c'è la radice di due, ciò non è vero, potrebbe esserci un fattore due lasciato in sospeso in $a^6+b^6+4a^3b^3$.

Pensavo che: $a^6+b^6+2a^3b^3=(a^3+b^3)^2$

e che quindi risultasse $ab(ab+4)=\sqrt2(a^3+b^3)$

di conseguenza $\sqrt2=\frac{ab(ab+4)}{(a^3+b^3)}$

allora per forza di cose o a o b deve essere irrazionale, e andando avanti per questa strada giungerei ad una equazione assurda ma probabilmente sto delirando causa febbre!!!

[Triarii]

Si ok così va bene (arrivi a dire che solo uno è irrazionale, ma con qualche passaggio in più arrivi a dimsotrare pure l'altro probabilmente), però è un po' diversa dalla tua prima formulazione

[Half95]

Sarò scemo io, ma se uno segue la strada di Half95 ottiene
$$(ab)^2(ab+2)^2=2(a^3+b^3)^2$$
e quindi se $a,b$ sono entrambi razionali è un pò assurda, perchè otterei $\displaystyle \frac{x^2}{y^2}=2$ che....

Ora così non se ne ottengono due, ma uno si, wlog $a$ è irrazionale.....

Ora per Half95, come si continua?

pensavo che wlog $a$ è irrazionale e sarà della forma $\frac{\sqrt2}{n}$ dove n è un razionale si sostituisce e anche b risulta essere irrazionale ma non sono sicuro che a debba per forza assumere quella forma!

[karlosson_sul_tetto]

Pensavo che: $a^6+b^6+2a^3b^3=(a^3+b^3)^2$

e che quindi risultasse $ab(ab+4)=\sqrt2(a^3+b^3)$

di conseguenza $\sqrt2=\frac{ab(ab+4)}{(a^3+b^3)}$

allora per forza di cose o a o b deve essere irrazionale, e andando avanti per questa strada giungerei ad una equazione assurda ma probabilmente sto delirando causa febbre!!!

Ok, si, mea culpa che ho mischiato le tue due ultime espressioni...

[darkcrystal]

$a=1, b=1/\sqrt{2}$ è una soluzione, quindi il testo vero dovrebbe essere "almeno uno dei due non è razionale"...

[Triarii]

azz. è vero Ho letto invece di "not both rational", "both not rational"...