62. Simmetrici e tangenti

[Francesco Sala]

Ecco il nuovo problema; secondo la mia opinione dovrebbe essere molto più facile del precedente.

Sia $ ABC $ un triangolo; chiamiamo $ D $ il simmetrico di $ B $ rispetto ad $ AC $ ed $ E $ il simmetrico di $ C $ rispetto ad $ AB $. Consideriamo la tangente in $ A $ a $ \odot(ADE) $ e supponiamo che intersechi $ BC $ in $ X $ e $ DE $ in $ Y $.
Dimostrare che $ AX=AY $.

[Troleito br00tal]

Sia $r$ la tangente in $A$ al circocerchio di $ADE$. Consideriamo la simmetria in $A$, siano $D'$ ed $E'$ rispettivamente le immagini di $D$ ed $E$. Sia $\gamma$ la circonferenza per $A, D', E'$. Ovviamente $r$ va in $r$, pertanto ci basta dimostrare che $r$, $D'E'$ e $BC$ concorrono. Osserviamo ora che $B \hat D' A = D' \hat B A = B \hat A C = C \hat E' A = E' \hat C A = \alpha$. Siano $X$ e $Y$ rispettivamente le intersezioni tra $BD'$ e $AE'$ e tra $CE'$ e $AD'$ (non si intersecano solo se $B \hat A C = \frac{\pi}{2}$, e tra l'altro il problema non ha neanche molto senso in quel caso). Ora, il quadrilatero $XE'D'Y$ è ciclico nel cerchio $\omega$ e, in particolare $B \hat A X = C \hat A Y = \alpha$. Ma allora, per similitudine, $BA^2 = BD' \cdot BX$ e, analogamente, $CA^2 = CE' \cdot CY$. L'asse radicale di $\gamma$ e $\omega$ è ovviamente $D'E'$, l'asse radicale tra $A$ e $\gamma$ è la tangente in $A$ a $\gamma$, ovvero $r$, e l'asse radicale tra $\omega$ ed $A$, per la relazione prima ricavata è $BC$. Pertanto $r, BC, E'D'$ concorrono e da questo segue la tesi.

Per curiosità, la fonte? E in shortlistesimi quanto era?

[Francesco Sala]

Fonte: Mathlinks; l'ho anche visto come lemma in un articolo in cui si dimostrava il teorema di Lester.

Difficoltà: chiaramente ognuno può avere impressioni leggermente differenti, ma in generale direi circa 3 - 4.