66. Disuguaglianza fra aree

[Lasker]

Edit: Ovviamente il problema che avevo messo in precedenza era già apparso di recente sul forum (non avevo controllato abbastanza bene), dunque lo cambio con questo (forse un po' troppo facile, ma è il migliore che ho trovato).

Scegliamo arbitrariamente tre punti $A_1$, $B_1$ e $C_1$ rispettivamente sui lati $BC$, $CA$ ed $AB$ di un triangolo $\triangle ABC$. Siano $a=S_{AB_1C_1}$, $b=S_{A_1BC_1}$, $c=S_{A_1B_1C}$ e $d=S_{A_1B_1C_1}$. Dimostrare che è verificata la seguente disuguaglianza:
$$d^3+(a+b+c)d^2\geq 4abc$$
Sperando che questo esercizio abbia più fortuna .

[Hawk]

Riscrivo come: $ d^2(a+b+c+d)=d^2A_T\geq 4abc $.
Adesso ho per AM-GM $ \frac{4}{27}(A_T-d)^3 \geq 4 abc $. E' quindi sufficiente mostrare che $ d^2A_T\geq \frac{4}{27}(A_T-d)^3 $ .
Facendo i conti a me viene: $ 4A^3 \leq 4d^3+15d^2A+12A^2d $, vera per bunching.

Va bene grazie a Troleito possiamo dire che questa soluzione è sbagliata. Basta dividere per $ A^3 $ sostituire il rapporto $ \frac{d}{A}=x $ per notare che la cubica che viene non soddisfa la diseguaglianza per $ 0<x<1 $.

[Troleito br00tal]

$ 4A^3 \leq 4d^3+15d^2A+12A^2d $, vera per bunching.

?

[Hawk]

Beh sì, in effetti non è proprio corretto come ho scritto.
Per bunching si ha $ A^3+d^3\leq A^2d+Ad^2 $. A maggior ragione: $ A^3\leq d^3+A^2d+Ad^2 $.
Dunque $ 4A^3 \leq 4d^3+4A^2d+4Ad^2 \leq 4d^3+15d^2A+12A^2d $.

[Troleito br00tal]

$ A^3+d^3\leq A^2d+Ad^2 $

Il verso è sbagliato!

[desc26]

Sia \(x_1=BA_1\) , \(x_2=A_1C\) e analogamente \(y_1, y_2, z_1, z_2\) (rispettivamente \(CB_1, B_1A, AC_1, C_1B\)); sia \(R\) il raggio della circonferenza circoscritta ad \(ABC\).
Per il teorema dei seni e per la formula trigonometrica per l'area vale:
\(4R[ABC]=(x_1+x_2)(y_1+y_2)(z_1+z_2)\)
\(4Ra=4R\frac{1}{2} y_2 z_1 sin{\alpha}=y_2 z_1 (x_1+x_2)\) e cicliche, da cui
\(4Rd=4R[ABC]-4Ra-4Rb-4Rc=x_1y_1z_1+x_2y_2z_2\).
La tesi equivale dunque a \(d^2[ABC] \geq 4abc\) cioè
\((4Rd)^2 (4R[ABC]) \geq 4 (4Ra) (4Rb) (4Rc) \)
\((x_1y_1z_1+x_2y_2z_2)^2 (x_1+x_2)(y_1+y_2)(z_1+z_2) \geq 4 x_1 x_2 y_1 y_2 z_1 z_2 (x_1+x_2)(y_1+y_2)(z_1+z_2)\)
\((x_1 y_1 z_1-x_2 y_2 z_2)^2 \geq 0\)
che è vera.

[Lasker]

Questa mi sembra giusta (tra parentesi, bella l'idea del raggio circoscritto, e quasi "magica" la semplificazione del $4Rd$, non la conoscevo e mai l'avrei immaginata), vai pure con il prossimo!