67. Maleingeometria

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Sia \(ABC\) un triangolo, \( \gamma \) la sua circonferenza circoscritta; \( \omega \) una circonferenza tangente al lato \(BC\) in un punto \(D\), passante per \(A\) e per un altro punto \( E \in AC \). Sia \(M\) il punto medio di \(DE\): la retta \(CM\) interseca \(\gamma \) in \(F\).
Tesi: \(\angle CBE \cong \angle DFC \)

Nota: Si ringrazia NoAnni per l'idea malvagia che ha fatto nascere questo problema.

[Kfp]

Testo nascosto:

Consideriamo la circonferenza di centro $C$ e raggio $CD$. Allora, secondo l'inversione nella suddetta, $A$ va in $E$ per le relazioni con le potenze di $C$ rispetto ad $\omega$, e dunque $\omega$ resta fissa. Inoltre, dette $X$ e $Y$ le intersezioni di $\gamma$ con la circonferenza di prima, $\gamma$ va nella retta $XY$, che passa per $E$ dato che $A$ sta su $\gamma$ e $\omega$ resta fissa.
Sia $ G = CM \cap XY $ e $ H = BC \cap XY$. Per quanto detto prima, $G$ e $F$ sono inversi, così come lo sono $B$ e $H$.
Ora, per delle banali considerazioni sull'inversione vale $\widehat{DFC} = \widehat{GDH}$, cioè la tesi diventa $DG$ parallelo a $BE$, ossia
$$\frac{BD}{BH}=\frac{GE}{EH}$$
Calcoliamo prima il membro a sinistra:
$$\frac{BD}{BH}=\frac{a-CD}{a-CH}=\frac{a-CD}{a-\frac{CD^2}{a}}=\frac{a}{a+CD}$$
Mettiamo da parte questo rapporto e calcoliamo l'altro.
Dalle classiche relazioni sui seni degli angoli con cui la mediana divide l'angolo di un triangolo, abbiamo
$$ \frac{\sin{DCM}}{\sin{ECM}}=\frac{CD}{EC}=\frac{b}{CD}$$
dove l'ultima relazione viene ancora dal fatto che $A$ ed $E$ siano inversi.
Ora, applicando il teorema dei seni ai triangoli con cui $CG$ divide $HCE$, abbiamo:
$$ \frac{HG}{GE}= \frac{\sin{DCM}}{\sin{ECM}} \frac{CH}{CE}=\frac{b \cdot CH}{CD \cdot EC}$$
Ma $\Delta CEH$ e $\Delta ABC$ sono simili per l'inversione di prima, da cui
$$ \frac{HG}{GE}= \frac{b^2}{CD \cdot a}$$
Ma per questa stessa similitudine abbiamo:
$$HG + GE = HE = \frac{CD^2 \cdot c}{a \cdot b}$$
Bello, ora abbiamo un sistema lineare nelle due variabili $HG$ e $GE$. Ometto pigramente i conti in cui si ricava $GE$ da esso e lo si divide per $EH$ (ricavato come prima), e facendo la divisione lo si trova uguale all'altro rapporto, trovando la tesi.

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Ok, giusta, vai col prossimo.

Fonte del problema:

Testo nascosto:

Turkey TST di quest'anno, problema 7, a cui ho applicato la stessa inversione che tu hai applicato all'indietro...
Speravo che non fosse così evidente