quanti polinomi?

[patatone]

Ultimamente mi stavo divertendo a provare i problemi della gara a squadre di quest'anno e in quella del pubblico ho trovato un problema che per quanto tenti non riesco a risolvere! Spero riusciate a darmi una mano Il problema è:

Quanti polinomi a coefficienti interi e di grado minore o uguale a 2014 esistono tali che $P(x)^2-2=P(x^2-2)$??

[jordan]

Giusto "a intuito", quanto diresti?

[patatone]

Giusto "a intuito", quanto diresti?

facendo qualche prova e vista la scelta apparentemente casuale del grado massimo avrei ovviamente sparato un bel 2016 xD e sbirciando il risultato è effettivamente cosi. Comunque non riesco a dimostrarlo, tranne un paio di cose che si notano facilmente:
0)osservazione banale: il caso polinomio costante ha 2 soluzioni, se il grado invece è >=1 pare essercene sempre solo una.
1)i coefficienti in posizione pari partendo a contare da $a_n$ (quindi $a_{n-1},a_{n-3}$ ecc..) sono nulli. Questo si vede o impostando uguaglianze tra coefficienti dello stesso grado oppure più semplicemente perchè $P(x)^2=P(-x)^2$.
2)sempre impostando un (brutto) sistema di uguaglianze tra coefficienti si può dimostrare che la soluzione è al massimo una per ogni grado $n>0$.

Resta la parte per me difficile, ovvero dimostrarne l'esistenza... purtroppo sono parecchio arrugginito su questo genere di problemi e sulla matematica in generale

[<enigma>]

Ti suggerisco una domanda sensata.

Testo nascosto:

L'equazione funzionale non ricorda da lontano la duplicazione del coseno? Come potrei fare per sfruttarla? In alternativa, scrivendo le soluzioni per un po' di gradi piccoli, si vede qualche pattern che potrei sfruttare per la costruzione?

[patatone]

ok in questi giorni ci ho ragionato di nuovo e ho trovato una ricorrenza, ovvero $\displaystyle P_{n+1}(x)=xP_n(x)-P_{n-1}(x)$ che si dimostra più o meno facilmente per induzione. Ora però mi chiedo come mai esista una tale ricorrenza "magica" (che ho individuato a occhio), mentre altre strade più logiche che ho tentato di seguire per arrivare a una soluzione per quanto promettenti non mi hanno portato a un risultato completo.
Insomma qual è l'idea sulla quale è stato costruito il problema?? Perchè al momento mi sfugge ancora!

[Drago96]

L'aveva già fatto intuire enigma: se prendi i polinomi di Chebycheff $ T_n (x) $, allora il polinomio tale che $ P_n (2x)=2T_n (x) $ soddisfa l'equazione data; inotre vediamo che il coefficiente di $ x^m $ in $2T (x) $ è divisibile per $2^m $, quindi il nostro $ P $ ha anche coefficienti interi.

[patatone]

L'aveva già fatto intuire enigma: se prendi i polinomi di Chebycheff $ T_n (x) $, allora il polinomio tale che $ P_n (2x)=2T_n (x) $ soddisfa l'equazione data; inotre vediamo che il coefficiente di $ x^m $ in $2T (x) $ è divisibile per $2^m $, quindi il nostro $ P $ ha anche coefficienti interi.

devi scusarmi ma non riesco a seguirti, io non conoscevo i polinomi di Chebycheff ma pur avendo dato una letta su wikipedia non capisco in base a quale proprietà sia evidente che risolvono il problema! Fai conto di parlare a uno molto a digiuno su queste cose

[fph]

ok in questi giorni ci ho ragionato di nuovo e ho trovato una ricorrenza, ovvero $\displaystyle P_{n+1}(x)=xP_n(x)-P_{n-1}(x)$ che si dimostra più o meno facilmente per induzione. Ora però mi chiedo come mai esista una tale ricorrenza "magica" (che ho individuato a occhio), mentre altre strade più logiche che ho tentato di seguire per arrivare a una soluzione per quanto promettenti non mi hanno portato a un risultato completo.
Insomma qual è l'idea sulla quale è stato costruito il problema?? Perchè al momento mi sfugge ancora!

Quella ricorrenza magica segue dalla stessa idea trigonometrica (difficile, comunque) che ti suggeriva Enigma e che porta ai polinomi di Chebyshev, usando le sum-to-product formulas (prostaferesi).

Abbiamo discusso a lungo di quel problema; come hai detto tu è facile arrivare a una congettura che i polinomi siano esattamente 2016 e a una dimostrazione che sono al più 2016, poi lo scoglio è trovarli esplicitamente. In una gara a squadre nella vita reale magari uno pensa di aver finito dopo la prima parte, o spera che la congettura sia vera e incrocia le dita, e consegna un foglietto con il 2016. Il motivo per cui non è finito nelle gare ufficiali, oltre alla difficoltà, è che questa soluzione "pratica" è molto più facile da trovare che non quella vera e completamente giustificata, e ciò lo rende meno attraente.
Abbiamo però giudicato che poteva essere adatto per la gara del pubblico, per cui abbiamo standard di qualità molto più bassi (e dove c'è effettivamente gente che avrebbe potuto conoscere i polinomi di Chebyshev). Anche per la gara del pubblico era considerato come uno dei problemi più difficili, pur tenendo conto di questa "falsa soluzione".