Quante somme di quadrati!

[auron95]

Sia $n=A^2B$ un intero positivo divisibile solo da primi congrui a $1$ modulo $4$, con $B$ libero da quadrati.
Dimostrare che $n$ può essere espresso come somma di due quadrati (anche nulli) in almeno $\tau(A)$ modi distinti, dove $\tau(n)$ indica il numero di divisori di $n$.

N.B. Due coppie di quadrati che differiscono solo per l'ordine non sono distinte.

Bonus: Sarà vero che sono esattamente $\tau(a)$?

[Gottinger95]

(Atttenzione, spoiler in the testo nascosto!) Per quanto riguarda il bonus, in generale vale

Testo nascosto:

\(S(n) = D_1(n) - D_3(n)\), dove:
- \(S(n)= |\{ (a,b): \ \ a,b \in \mathbb{N} \ \ a^2+b^2 = n\}|\);
- \(D_1(n) = |\{ d \mid n: \ \ d \equiv 1 \pmod{4} \}| \), e \(D_3(n)\) definito similmente.
Quindi la risposta è no, perchè in questo caso \( S(n) = D_1(n) = D_1(A^2B) > D_1(A) = \tau(A)\).
Scriverei la dimostrazione del fatto, ma sono in partenza scrivo quindi uno sketch:
1. Si dimostra che ogni primo \(p \equiv 1 \pmod{4}\) può essere espresso in uno e un unico modo come somma di quadrati, e lo si fa con il Lemma di Thue, che si trova dimostrato qui nel forum in una forma più generale. Questo è il "caso base" dell'induzione.
2. Si suppone che valga per \(n\), e si vede un po' che succede per
- \(pn\), se \(p \equiv 1 \pmod{4}\), distinguendo se \(p \mid n\) o no;
- \(p^2n\), se \(p \equiv 3 \pmod{4}\), distinguendo se \(p\mid n\) o no;
Sicuramente si ottengono tutti gli \(n\) che si possono esprimere come somma di quadrati, in cui i primi \(\equiv 3\) compaiono con esponente pari (il che va dimostrato).

[gpzes]

@auron95 ; @Gottinger95
..forse ho capito male..
Devo far vedere che p.e.se $ n={{\left( {{5}^{4}} \right)}^{2}}.13$ allora il numero di modi $S(n)$ di scriverlo come somma di quadrati, è $S(n)\ge \tau \left( {{5}^{4}} \right)=5$?

si intende...
Sia $n={{A}^{2}}B$, intero positivo, divisibile unicamente da primi $p\equiv 1\bmod 4$ e $B$ squarefree.
Dimostarre che il numero di modi di scrivere $n$ come somma di due quadrati di numeri positivi, includendo ${{a}^{2}}+{{0}^{2}}$ e considerando distinte $n={{a}^{2}}+{{b}^{2}}, n={{b}^{2}}+{{a}^{2}}$, è almeno $\tau \left( A \right)$.(???)

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Testo nascosto:

AYyy scusatemi!! ...ignoranza abissaleee...
formula di Jacobi mai vista... ..${{r}_{2}}(n)=4[{{d}_{1}}(n)-{{d}_{3}}(n)]$