Sia p un primo dispari e siano dati 2p-1 interi distinti e sappiamo che esiste più di un sottoinsieme di questi, con p elementi, con somma divisibile per p. Mostrare che il numero di tali sottoinsiemi e' almeno p.
[Nb. Il testo in rosso è stato modificato; vedi controesempio di Gottinger]
Troppi p
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Gottinger95
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Re: Troppi p
Per ogni \(p\), siano \(0 \le a < b < p\), e siano \( A= \{ kp+a: 0 \le k < p\}, \ \ B= \{ kp+b: 0 \le k < p\} \).
Consideriamo \(S= A \cup B\). Visto che sono disponibili solo 2 resti mod \(p\) (namely \(a,b\) ), tutte le somme dei sottoinsiemi di \(S\) con \(p\) elementi saranno della forma \( T_m = ma+(p-m)b \) per \( 0 \le m \le p\). D'altronde \(T_m = ma+(p-m)b \equiv m(a-b) \). Visto che \(a-b < p\), abbiamo che \(T_m\) è congruo a 0 se e solo se lo è anche \(m\); visto che \(0 \le m \le p\) ci sono solo 2 m siffatti, che corrispondono agli insiemi \(A,B\). Dove sbaglio?
Consideriamo \(S= A \cup B\). Visto che sono disponibili solo 2 resti mod \(p\) (namely \(a,b\) ), tutte le somme dei sottoinsiemi di \(S\) con \(p\) elementi saranno della forma \( T_m = ma+(p-m)b \) per \( 0 \le m \le p\). D'altronde \(T_m = ma+(p-m)b \equiv m(a-b) \). Visto che \(a-b < p\), abbiamo che \(T_m\) è congruo a 0 se e solo se lo è anche \(m\); visto che \(0 \le m \le p\) ci sono solo 2 m siffatti, che corrispondono agli insiemi \(A,B\). Dove sbaglio?
\( \displaystyle \sigma(A,G) \ \ = \sum_{Y \in \mathscr{P}(A) } \dot{\chi_{|G|} } (Y) \) bum babe
Re: Troppi p
Ti ringrazio per il controesempio, in effetti cosi proposto l'esercizio era sbagliato, mi spiace. Ora, la modifica dovrebbe essere sufficiente 
The only goal of science is the honor of the human spirit.