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Sia p un primo dispari e siano dati 2p-1 interi distinti e sappiamo che esiste più di un sottoinsieme di questi, con p elementi, con somma divisibile per p. Mostrare che il numero di tali sottoinsiemi e' almeno p.

[Nb. Il testo in rosso è stato modificato; vedi controesempio di Gottinger]

Per ogni \(p\), siano \(0 \le a < b < p\), e siano \( A= \{ kp+a: 0 \le k < p\}, \ \ B= \{ kp+b: 0 \le k < p\} \).
Consideriamo \(S= A \cup B\). Visto che sono disponibili solo 2 resti mod \(p\) (namely \(a,b\) ), tutte le somme dei sottoinsiemi di \(S\) con \(p\) elementi saranno della forma \( T_m = ma+(p-m)b \) per \( 0 \le m \le p\). D'altronde \(T_m = ma+(p-m)b \equiv m(a-b) \). Visto che \(a-b < p\), abbiamo che \(T_m\) è congruo a 0 se e solo se lo è anche \(m\); visto che \(0 \le m \le p\) ci sono solo 2 m siffatti, che corrispondono agli insiemi \(A,B\). Dove sbaglio?

Ti ringrazio per il controesempio, in effetti cosi proposto l'esercizio era sbagliato, mi spiace. Ora, la modifica dovrebbe essere sufficiente