Successione infinitamente pari ed infinitamente dispari

[LucaMac]

Data la successione definita come $c_1 = 2 $ e $ c_{n+1} = \left\lfloor \dfrac{3}{2} c_n \right\rfloor $ .
1) Dimostrare che esistono infiniti $ \alpha \in \mathbb{Z}^+ $ tali che $ c_{ \alpha} \equiv 0 \pmod{2} $
2) Dimostrare che esistono infiniti $ \beta \in \mathbb{Z}^+ $ tali che $ c_{ \beta} \equiv 1 \pmod{2} $

[aetwaf]

$1)$ Dimostriamo che non esiste $N$ tale che $c_n$ è dispari per $n\ge N$
Supponiamo $c_n$ dispari per un qualche $n$ intero positivo
Sia $c_n=2^md+1$ con $d$ dispari
$c_{n+1}=3\cdotp 2^{m-1}d+1$
$c_{n+2}=3^2\cdotp 2^{m-2}d+1$
.
.
.
$c_{n+m}=3^md+1\equiv 0\pmod 2$

$2)$ Dimostriamo che non esiste $N$ tale che $c_n$ è pari per $n\ge N$
Supponiamo $c_n$ pari per un qualche $n$ intero positivo
Sia $c_n=2^md$ con $d$ dispari
$c_{n+1}=3\cdotp 2^{m-1}d$
.
.
.
$c_{n+m}=3^md\equiv 1\pmod 2$

Quindi da un $c_n$ pari del tipo $2^md$ si ottiene un termine dispari dopo $m$ passaggi e da un $c_n$ dispari del tipo $2^md+1$ si ottiene un termine pari dopo $m$ passaggi
Ma allora esistono infiniti termini dispari e infiniti termini pari

[LucaMac]

Ovviamente corretta