Scusate per l'attesa...
95. Disuguaglianza con denominatori sempre più lunghi
95. Disuguaglianza con denominatori sempre più lunghi
Dimostrare che per ogni $(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb R^n$ vale $$\displaystyle\frac{x_1}{1+x_1^2}+\frac{x_2}{1+x_1^2+x_2^2}+\dots+\frac{x_n}{1+x_1^2+\dots+x_n^2}<\sqrt n$$
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Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)
Re: 95. Disuguaglianza con denominatori sempre più lunghi
CS al contrario è sempre un piacere.
Basta dimostrare che $$\sum_{i=1}^n \frac{a_i}{(1+a_1+...+a_i)^2} < 1$$
E quella somma da dimostrare è maggiorata da $\displaystyle 1-\frac{1}{1+a_1+...+a_n}$ (induzione)
Basta dimostrare che $$\sum_{i=1}^n \frac{a_i}{(1+a_1+...+a_i)^2} < 1$$
E quella somma da dimostrare è maggiorata da $\displaystyle 1-\frac{1}{1+a_1+...+a_n}$ (induzione)
Re: 95. Disuguaglianza con denominatori sempre più lunghi
Wow, penso sia impossibile essere più sintetici di così...
Vai pure, ma alla prima richiesta di chiarimento sei moralmente obbligato a scrivere tutto al minimo passaggio!
Vai pure, ma alla prima richiesta di chiarimento sei moralmente obbligato a scrivere tutto al minimo passaggio!
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karlosson_sul_tetto
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Re: 95. Disuguaglianza con denominatori sempre più lunghi
Visto che sono ritardato+stronzo, chiedo: come fai ad eliminare $ \sqrt{n} $ da destra? ho provato in vari modi con CS come hai detto tu ma non riesco a levarlo in nessun modo...
"Inequality happens"
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"Chissa se la fanno anche da asporto"
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Re: 95. Disuguaglianza con denominatori sempre più lunghi
D'accordo, non farò lo sborone
Consideriamo A ($\displaystyle \frac{x_1}{1+x_1^2}, ... , \frac{x_n}{1+x_1^2+...+x_n^2}$) e B (1, 1, ..., 1) e facciamo cosci svarz
Bene quindi $LHS^2\leq n \cdot \sum_{i=1}^n \frac{x_i^2}{(1+x_1^2+...+x_n^2)^2}$
Ora chiamando $a_i=x_i^2$ si riduce a quella che ho scritto.
E poi babeh l'induzione mi pare che è easy (lasciano perdere come è stato trovarlo quel pezzo, che è stato abbastanza a caso)
Consideriamo A ($\displaystyle \frac{x_1}{1+x_1^2}, ... , \frac{x_n}{1+x_1^2+...+x_n^2}$) e B (1, 1, ..., 1) e facciamo cosci svarz
Bene quindi $LHS^2\leq n \cdot \sum_{i=1}^n \frac{x_i^2}{(1+x_1^2+...+x_n^2)^2}$
Ora chiamando $a_i=x_i^2$ si riduce a quella che ho scritto.
E poi babeh l'induzione mi pare che è easy (lasciano perdere come è stato trovarlo quel pezzo, che è stato abbastanza a caso)
Re: 95. Disuguaglianza con denominatori sempre più lunghi
Chiamasi anche amqm... xD
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Re: 95. Disuguaglianza con denominatori sempre più lunghi
Comunque bella. Fonte?
Re: 95. Disuguaglianza con denominatori sempre più lunghi
Io l'ho trovata nel file del WC 2007 
Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)