OliForum Matematico

Dimostrare che per ogni $(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb R^n$ vale $$\displaystyle\frac{x_1}{1+x_1^2}+\frac{x_2}{1+x_1^2+x_2^2}+\dots+\frac{x_n}{1+x_1^2+\dots+x_n^2}<\sqrt n$$
Scusate per l'attesa...

CS al contrario è sempre un piacere.

Basta dimostrare che $$\sum_{i=1}^n \frac{a_i}{(1+a_1+...+a_i)^2} < 1$$

E quella somma da dimostrare è maggiorata da $\displaystyle 1-\frac{1}{1+a_1+...+a_n}$ (induzione)

Wow, penso sia impossibile essere più sintetici di così...
Vai pure, ma alla prima richiesta di chiarimento sei moralmente obbligato a scrivere tutto al minimo passaggio!

Visto che sono ritardato+stronzo, chiedo: come fai ad eliminare $ \sqrt{n} $ da destra? ho provato in vari modi con CS come hai detto tu ma non riesco a levarlo in nessun modo...

D'accordo, non farò lo sborone

Consideriamo A ($\displaystyle \frac{x_1}{1+x_1^2}, ... , \frac{x_n}{1+x_1^2+...+x_n^2}$) e B (1, 1, ..., 1) e facciamo cosci svarz

Bene quindi $LHS^2\leq n \cdot \sum_{i=1}^n \frac{x_i^2}{(1+x_1^2+...+x_n^2)^2}$

Ora chiamando $a_i=x_i^2$ si riduce a quella che ho scritto.

E poi babeh l'induzione mi pare che è easy (lasciano perdere come è stato trovarlo quel pezzo, che è stato abbastanza a caso)

Chiamasi anche amqm... xD

Comunque bella. Fonte?

Io l'ho trovata nel file del WC 2007