Dimostrazione di una serie

[bobby_fischer]

Come è stato consigliato su questo forum, ho cominciato a leggere Che cos\'è la matematica e l\'ho trovato molto interessante.
<BR>Ma, non sapendo lavorare con gli esponenti di esponente sono rimasto bloccato qui: :-0
<BR>Dimostrare con il principio di induzione che
<BR>[(1+q)(1+q^2)(1+q^4)...(1+q^2n)]=[1-q^2^(n+1)]/(1-q)
<BR>
<BR>Ho anche chiesto alla mia prof se q^2^(n+1) fosse uguale a (q^2)^(n+1) ma mi ha detto che non è così. <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif">
<BR>Potete dimostrarmi questa uguaglianza?
<BR>E magari spiegarmi un attimo come si lavora con gli esponenti di esponente? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
<BR>Grazie e ciao
<BR>nick<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: bobby_fischer il 18-12-2003 19:03 ]

[Antimateria]

\"Lavorare con gli esponenti di esponente\" è piuttosto facile, semplicemente (a^b)^c significa elevare a alla b, ed il risultato alla c, il che equivale a fare a^bc.
<BR>Invece, a^{(b^c)} significa elevare b alla c, ed usare il risultato come esponente di a.
<BR>
<BR>Puoi convincerti che le due cose non sono equivalenti anche senza scomodare la tua prof: considera ad esempio (2²)³=64 e 2^(2³)=256.
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><IMG SRC="http://images.google.it/images?q=tbn:3g ... onspir.jpg"><!-- BBCode End --><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Antimateria il 18-12-2003 19:51 ]

[Iulik]

Ti diverte? Cosa vuoi dimostrare?

[bobby_fischer]

Grazie anti, ho capito.
<BR>Ma come lavoro con 2^(n+1)????
<BR>forse mi verrà un\'illuminazione <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif">
<BR> x iulik:
<BR>voglio dimostrare che
<BR>[(1+q)(1+q^2)(1+q^4)...(1+q^2n)]=[1-q^2^(n+1)]/(1-q)
<BR>è valida per ogni n>=1 e pero ogni q intero, direi.
<BR>ciao
<BR>nick

[Iulik]

Perdonami, credevo stessi scherzando riguardo alle potenze, ma poi ho pensato che in effetti stavo dando per scontato ciò che può non esserlo.

[Iulik]

A proposito, attento, perchè solo n maggiore o uguale a 1. Il metodo classico prevede n=0 e, se P(n) è vera, allora anche per n+1.

[talpuz]

c\'è un errore nel testo, quello corretto è (mi sembra)
<BR>
<BR><B>[(1+q)(1+q²)(1+q⁴)...(1+q^2ⁿ)]=[1-q^{2⁽ⁿ⁺¹⁾}]/(1-q)</B>
<BR>

[talpuz]

ehm...
<BR>precisazione: quella non è una serie, semmai è un\'identità..
<BR>una \"serie\" associata ad una successione (a_n) è la somma (se esiste ed è finita)
<BR>
<BR><B>sum[n=0-->inf](a_n) </B>
<BR>
<BR>cioè, denotando con (S_n) la successione delle somme parziali, il
<BR>
<BR><B>lim[n-->inf](S_n) </B>

[Antimateria]

Mi pare che un po\' di mesi fa qualcuno abbia già postato questo stesso problema, e con lo stesso identico errore nel testo!! Un\'epidemia?? Mah...

[talpuz]

penso che sia semplicemente un\'errore di testo nel Courant-Robbins..
<BR>c\'è anche nella mia copia..

[bobby_fischer]

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2003-12-18 20:22, talpuz wrote:
<BR>c\'è un errore nel testo, quello corretto è (mi sembra)
<BR>
<BR><B>[(1+q)(1+q²)(1+q⁴)...(1+q^2ⁿ)]=[1-q^{2⁽ⁿ⁺¹⁾}]/(1-q)</B>
<BR>
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Se questo è il testo corretto riproverò a dimostrarlo...
<BR>Grazie
<BR>ciao
<BR>nick