L'$n$-esima disuguaglianza

[matpro98]

Siano $a_1, a_2, \cdots, a_n$ reali positivi, dimostrare che

$\displaystyle \sum_{cyc}{\dfrac{a_1 a_2}{a_1+a_2}} \leq \dfrac {n}{2(a_1+ a_2+ \cdots+ a_n)} \sum_{cyc}{a_1 a_2}$.

[Scugnamì]

Ma questo $\displaystyle \sum_{cyc}{\dfrac{a_1 a_2}{a_1+a_2}}$ debbo interpretarlo come $\displaystyle \sum_{cyc}{\dfrac{a_i a_{i+1}}{a_i+a_{i+1}}}$ e in tal caso gli indici sono considerati $ \pmod n$ ? Cioè quando arrivo ad $a_n$ ci metto anche la coppia di termini $a_n,a_1$?

[DamianoY]

Allora intanto posso scrivere :
$ \sum \dfrac {a_{1}a_{2}}{a_{1}+a_{2}}\leq n\dfrac {\Sigma a_{1}a_{2}}{\sum a_{1}+a_{2}} $

Poi pongo $ \dfrac {a_{1}a_{2}}{a_{1}+a_{2}}=x_{1} $ (e analogamente $ x_{2}...x_{n} $ tutti ciclati) e $ a_{1}+a_{2}=y_{1} $ ecc...

A questo punto è evidente la disuguaglianza applicando Chebyshev (è nel senior basic quindi la do per buona senza dimostrarla) ovvero $ \dfrac {\sum x_{1}y_{1}}{n}\geq \dfrac {\sum x_{1}}{n}\dfrac {\sum y_{1}}{n} $

(Tutte le sommatorie sono intese cicliche)

E direi che ho finito se non ho fatto errori...

[DamianoY]

Ma questo $\displaystyle \sum_{cyc}{\dfrac{a_1 a_2}{a_1+a_2}}$ debbo interpretarlo come $\displaystyle \sum_{cyc}{\dfrac{a_i a_{i+1}}{a_i+a_{i+1}}}$ e in tal caso gli indici sono considerati $ \pmod n$ ? Cioè quando arrivo ad $a_n$ ci metto anche la coppia di termini $a_n,a_1$?

Se ho capito bene quello che intendi direi di sì!

[matpro98]

@Scugnamì: sì, certo
@Damiano: dorebbe essere giusta, a parte che quella con x_i y_i dovrebbe essere senza n al denominatore

[DamianoY]

Nono penso sia come ho scritto io:
http://it.m.wikipedia.org/wiki/Disuguag ... ulla_somma

[matpro98]

Ah, sì sì, scusa

[Troleito br00tal]

Per usare Chebysev deve valere l'ordinamento sulle $n$-uple, che qui non vale: non è detto che $x_1 \le ... \le x_n$ e $y_1 \le ... \le y_n$ (o almeno, non l'hai dimostrato (ma così a occhio direi che non è neanche vero per qualche permutazione, però vabbè)).

[DamianoY]

Per usare Chebysev deve valere l'ordinamento sulle $n$-uple, che qui non vale: non è detto che $x_1 \le ... \le x_n$ e $y_1 \le ... \le y_n$ (o almeno, non l'hai dimostrato (ma così a occhio direi che non è neanche vero per qualche permutazione, però vabbè)).

Sicuramente dirò una cavolata...
Io ho supposto (penso WLOG)
$ a_{1}\geq a_{2}\geq \ldots \geq a_{n} $ e quindi che $ y_{1}\geq y_{2}\geq \ldots \geq y_{n} $ sia vero mi pare evidente mentre che valga $ x_{1}\geq x_{2}\geq \ldots \geq x_{n} $ penso basti mostrare che $ \dfrac {a_{1}a_{2}}{a_{1}+a_{2}}\geq \dfrac {a_{2}a_{3}}{a_{2}+a_{3}} $ e svolgendo qualche calcolo si ottiene $ a_{1}\geq a_{3} $ ed è vero per ciò che ho supposto... Può bastare?

[Troleito br00tal]

Eh ma il problema è che non puoi supporre $a_1 \ge ... \ge a_n$! Infatti la disuguaglianza è ciclica, non simmetrica.

Ti propongo un esempio: $a^2b+b^2c+c^2a \ge ab^2+bc^2+ca^2$ (che è ovviamente ciclica). Dimostra che questa disuguaglianza è vera se $a \ge b \ge c$, mentre trova un controesempio in cui non vale.

[matpro98]

Dato che non è un problema originale, ma l'ho modificato io, chiedo: è ancora vera come disuguaglianza o non vale più?

[DamianoY]

Eh ma il problema è che non puoi supporre $a_1 \ge ... \ge a_n$! Infatti la disuguaglianza è ciclica, non simmetrica.

Ti propongo un esempio: $a^2b+b^2c+c^2a \ge ab^2+bc^2+ca^2$ (che è ovviamente ciclica). Dimostra che questa disuguaglianza è vera se $a \ge b \ge c$, mentre trova un controesempio in cui non vale.

Ho compreso benissimo il mio errore... Però onestamente non mi viene in mente un modo per dimostrare l' esempio che mi hai fatto in quel caso (ho troppo poca esperienza evidentemente)
Qualche consiglio?

[Troleito br00tal]

Prova a scomporlo!

[DamianoY]

Penso di aver capito:
Scomponendo dovrebbe venire questo:
$ \left( a-b\right) \left( b-c\right) \left( c-a\right) \leq 0 $ Che per le condizioni poste è certamente vero ma se fosse per esempio $ c\geq b\geq a $ non varrebbe più... Dico bene?

[Lasker]

Oppure, volendo spegnere il cervello, c'è la volgarissima Buffalo Way!
Chiamiamo $b=c+x$ e $a=c+x+y$, per qualche $x,y\in \mathbb{R}^+$. La disuguaglianza diventa allora
$$(c+x+y)^2(c+x)+(c+x)^2c+c^2(c+x+y)\geq (c+x+y)(c+x)^2+(c+x)c^2+c(c+x+y)^2 $$
Portiamo tutto a sinistra, cercando di raccogliere per semplificarci un po' i conti
$$(c+x+y)(c+x)\left[c+x+y-(c+x)\right]+c(c+x)[c+x-c]+c(c+x+y)[c-(c+x+y)]\geq 0$$
$$y(c+x+y)(c+x)+cx(c+x)+c(c+x+y)(-x-y)\geq 0$$
$$(c+x+y)[cy+xy+(-cx-cy)]+c^2x+cx^2\geq 0$$
$$(c+x+y)(xy-cx)+c^2x+cx^2\geq 0 \Leftrightarrow\ cxy-c^2x+x^2y-cx^2+xy^2-cxy+c^2x+cx^2\geq0 \Leftrightarrow\ \ x^2y+xy^2\geq 0$$
E l'ultima è sempre vera se $x,y$ sono positivi (il caso in cui $a\geq b\geq c$), mentre è sempre falsa se sono entrambi negativi (il caso in cui $a\leq b\leq c$, il nostro controesempio)