sns 2013-2014 problema 6

[DamianoY]

Siccome sono poco abile nel cercare nel forum propongo (o ripropongo) un problema di ammissione alla normale, (che mi sembra molto olimpico) in particolare la domanda numero 2 (del problema 6 appunto):

Si consideri il polinomio:
$ p\left( x,y\right) =\dfrac {\left( x+y\right) ^{2}+3x+y}{2} $
Si determinino tutte le coppie $ \left( x,y\right) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} $ tali che $ p\left( x,y\right) =2013 $

La mia idea è questa:

Testo nascosto:

Osservo che $ \left( x+y+1\right) ^{2}\leq 2p \left( x,y\right) =x^{2}+2xy+y^{2}+3x+y=4026\leq (x+y+2)^{2} $ (pongo $ x\geq y+1 $) quindi si vede abbastanza bene che $ x+y=62 $ allora provo a sostituirlo in $ 2p(x,y) $ e ottengo $ 3906+2x=4026 $ da cui $ x=60 $ e $ y=2 $

Adesso pongo $ x\leq y+1 $ e analogamente $ \left( x+y\right) ^{2}\leq 2p \left( x,y\right) =x^{2}+2xy+y^{2}+3x+y=4026\leq (x+y+1)^{2} $ da cui $ x+y=63 $ e sostituendo $ 4032+2x=4026 $ quindi non ci sono altre soluzioni naturali

Può andare bene?

(Ultimamente(?) sono state messe le soluzioni sul sito del sns proprio di quest'annata, e prima di dargli una spiata volevo provare a trattare qualche problema per conto mio e con qualche aiutino da parte dei più esperti di voi)

Ovviamente se è già sul forum potreste farmi il favore di darmi il link? Grazie in anticipo a tutti!

[mr96]

Si, la soluzione è solo quella e penso possa andare Qua non sono sicuro che sia passato, di sicuro è passato sull'altro forum poco dopo il test