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Il punto P, che si trova nell'origine degli assi di un piano cartesiano, decide di fare una passeggiata. P, ad ogni passo, può muoversi di una ed una sola unità, parallelamente all'asse $ y $ nel verso positivo con probabilità $ p $ oppure parallelamente all'asse $ x $ nel verso positivo con probabilità $ q=1-p $
Se P incontra la retta $ r $, di equazione $ y=x-2 $, oppure la retta $ s $, di equazione $ y=x+2 $ la sua passeggiata termina.
Diremo che P ha incontrato una retta se appartiene a quella retta, quindi, nell'immagine, se P dovesse trovarsi in $ (1;3) $ avrebbe incontrato $ s $

1. Si calcoli, in funzione di $ p $ la probabilità che la passeggiata termini sulla retta $ s $
2. Si calcoli la probabilità che la passeggiata sia terminata dopo $ N $ passi
3. Si calcoli, in funzione di $ n, n \in \mathbb{N} $ il numero di modi in cui P può raggiungere il punto $ (n; n + 2) $, appartenente alla retta $ s $

1. Si posso dividere i punti in base alla loro distanza "verticale" da $s$. Sia $A$ la probabilità di finire su $s$ partendo da un punto distante $1$, $B$ partendo da un punto distante $2$, $C$ partendo da un punto distante $3$. Per le regole, $p$ è la probabilità di passare a un punto più vicino, mentre $q$ a uno più lontano; quindi
\[ \begin{cases}
A=p+qB \\
B=pA+qC \\
C=pB
\end{cases} \]
Sostituendo nell'espressione di $B$ ($P$ è un punto distante $2$ da $s$), si ottiene
\[ B=p(p+qB)+qpB \quad\Rightarrow\quad B= \frac{p^2}{1-2pq}=\frac{p^2}{1-2p+2p^2} \]

3. Per raggiungere il punto $(n;n+2)$ impiego $2n+2$ spostamenti, che devono stare tutti tra le due rette. A partire da un qualunque punto sulla retta $y=x$, se mi sposto a destra, lo spostamento successivo dovrà assere verso l'alto (e vice versa), altrimenti la passeggiata finisce, tornando così su $y=x$ ogni due spostamenti. Allora il punto $P$ passa per tutti i punti di $y=x$, fino a quando non si ferma su $(n;n)$, da dove il percorso è obbligato. Per passare da $(k;k)$ a $(k+1;k+1)$ ho sempre due possibili percorsi, simmetrici. Quindi posso scegliere il percorso in due modi ogni due mosse. Quindi... il totale sarà $2^n$.

2. La passeggiata finisce quando il $P$ è su un punto della forma $(a;a+2)$ o $(a+2;a)$, quindi dopo aver compiuto un numero pari di mosse. Se $N$ è dispari la probabilità è nulla. E poi... andando un po' a caso direi che viene fuori una cosa che assomiglia a $p^{m-1}(1-p)^{m-1}(1-2p+2p^2)$, che più guardo più mi convinco essere sbagliato

Beh, ai punti 1 e 3 è già stata fornita una risposta corretta, vediamo di rispondere al 2

Il numero di passi di P è esattamente uguale alla somma delle sue coordinate. Quindi possiamo rappresentare la rette $ t $, al di sotto della quale tutti i punti hanno somma delle coordinate minore di $ N $.
Consideriamo il caso in cui N è pari. L'unico punto dove P può trovarsi perchè il suo percorso non sia terminato è il punto $ \left(\frac{N}{2};\frac{N}{2}\right) $, in ogni altro caso il suo percorso sarebbe terminato entro le N mosse. è sufficiente calcolare la probabilità che P si trvi in quel punto (senza aver toccato nessuna retta)
Osserviamo che perchè P si trovi in $ \left(\frac{N}{2};\frac{N}{2}\right) $, deve essere passato da $ \left(\frac{N}{2} -1 ;\frac{N}{2} -1\right) $, quindi, detta $ X_N $ la probabilità che P si trovi in $ \left(\frac{N}{2};\frac{N}{2}\right) $, con $ N $ pari, possiamo impostare il problema ricorsivamente: $ X_N = pq \cdot X_{N-2} + qp \cdot X_{N-2} = 2pq \cdot X_{N-2} $.
Posto $ X_0 = 1 $ perchè la probablità che il percorso non sia terminato dopo 0 passi è massima allora $ X_N = (2pq)^{\frac{N}{2}} $
Quindi la probabilità che il percosrso sia terminato, essendo l'evento opposto è $ 1 - (2pq)^{\frac{N}{2}} $

Nel caso in cui N sia dispari è sufficiente osservare che esistono due posizioni di P che non gli farebbero terminare il percorso, entrambe raggiungibili solo dal punto $ \left(\frac{N-1}{2};\frac{N-1}{2}\right) $, ed almeno una delle due deve essere raggiunta. Quindi se il percorso non è terminato per $ N $ ($ N $ pari) allora non è terminato neanche per $ N+1 $. Di conseguenza la probabilità che sia terminato, con $ N $ dispari è uguale alla probabilità che P abbia terminato il percorso in $ N-1 $ mosse.

$ X_N = \left\{ \begin{array}{1 1} 1 - (2pq)^{\frac{N}{2}} & \quad \text{se $N$ è pari} \\ 1 - (2pq)^{\frac{N-1}{2}} & \quad \text{se $N$ è dispari} \end{array} \right. $