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(a) $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$. Trovare, usando le tecniche di risoluzione delle funzionali (gli "arnesi" di fph, per capirci) le soluzioni a:
\[f\left(\frac{x+y}2\right)=\frac{f(x)+f(y)}2\hspace{1cm}\forall\ (x,y)\in\mathbb{R}^2.\]
Se volete prendete $2f(x+y)=f(2x)+f(2y)$ per fare i conti senza frazioni
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(b) Trovare le soluzioni alla precedente usando le nozioni di convessità e derivate seconde (ok, forse non è molto elementare, ma le derivate seconde le sanno tutti... quasi...
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(c) Generalizzare. In particolare, $f:\mathbb{R}_+\rightarrow\mathbb{R}_+$. Trovare le soluzioni a:
\[f\left(\sum_{i=1}^n \frac{x_i}n\right)=\frac1n\sum_{i=1}^n f(x_i)\hspace{1cm}\forall\ (x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb{R}^n_+.\]
Il $+$ in basso significa "reali $>0$" e serve per non ammazzarla subito ponendo tutte le variabili tranne due uguali a $0$ e ricondurla alla (a). Poi magari viene parecchio facile lo stesso, ma vabbè.
E se invece volessi farla "pesata", come è la disuguaglianza di Jensen vera?
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(d) E se io volessi due funzioni (mi sento potente!)... diciamo $f$ e $g$ sempre da $\mathbb{R}$ in $\mathbb{R}$ tali che:
\[f\left(\frac{x+y}2\right)=\frac{g(x)+g(y)}2;\hspace{1cm} g\left(\frac{x+y}2\right)=\frac{f(x)+f(y)}2\hspace{1cm}\forall\ (x,y)\in\mathbb{R}^2.\]
Posso trovarle o no? E se volessi generalizzare come nel caso (c)?
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Un paio di commenti: la (a), che poi è lo stesso della (b), è un problema noto (prego i "pro" di non bruciarlo subito)... invece il (c) è una bella generalizzazione che "viene in mente" pensando alla disuguaglianza che è un po' il filo conduttore di questo topic... la (d) mi è venuta in mente adesso, ed è per quello che è così delirante (sì, è una funzionale che delira...)
Spero che almeno una di queste sia interessante e non si liquidi in due righe...
