Niente Male

[Saro00]

Finiti i problemi di ammissione (non di texarli) e la scuola, propongo un problemino che a me é piaciuto. Molti di voi l'avranno giá visto.
Sia $ ABC $ un triangolo.
L’ex-cerchio $ \omega_A $ tange $ AB $ in $ P $ e $ AC $ in $ Q $; l’ex-cerchio
$ \omega_B $ tange $ BA $ in $ M $ e $ BC $ in $ N $.
Siano $ K, L $ le proiezioni di $ C $ su $ MN $, $ P Q $.
Dimostrare che $ MKLP $ `e ciclico.

[Vinci]

Mi sono bloccato a dover dimostrare o che l'angolo $\widehat{CKL}$ è uguale ad ${\alpha\over 2}$ o che l'angolo $\widehat{CLK}$ è uguale ad ${\beta\over 2}$ o equivalentemente che il triangolo $CKL$ è simile al triangolo formato da $A$, $B$ e l'incentro.

[Saro00]

Questo problema in realtà é fatto per le baricentriche...
Comunque, per chi vuole risolvere REALMENTE il problema, in spoiler 2 suggerimenti per la mia soluzione in sintetica.

Non troppo pesante

Testo nascosto:

Sia $ S\equiv PQ \cap MN $ e $ H $ il piede della C-altezza.
La tesi é equivalente a $ S, C, H $ allineati.

Pesante

Testo nascosto:

$ I_AI_BI_C \approx MPS $

P.S. Il titolo era proprio riferito alle baricentriche

[Vinci]

Quindi è inutile un approccio in sintetica senza conoscere le baricentriche?

[Saro00]

Per niente, ho una soluzione in sintetica pura (e anche carina).
Dato che nessuno ci ha provato metto un altro suggerimento

Testo nascosto:

É una di quelle volte in cui si usa un teorema da cui prende nome un utente di questo forum (inizia con "Ta" e finisce con "Lete")

[Saro00]

Vinci, non posso risponderti in MP perché hai disattivato i messaggi privati...

[Talete]

Mi han chiamato? Rispondo! Non posto una vera e propria soluzione (soprattutto perché non ne ho voglia) però dato che ho trovato parecchie soluzioni che differiscono un poco le posto:

Testo nascosto:

Lemma (serve per tutte): $M$, $C$ ed $L$ allineati, così come $P$, $C$ e $K$.

Testo nascosto:

Ceva sulle altezze di $MPS$.

Testo nascosto:

Desargues su $MPC$ e $LKH$.

Testo nascosto:

$S$ appartiene all'asse radicale delle circonferenze $AMKC$ e $BPLC$.

Testo nascosto:

$KL$ è parallelo ad $AB$.

Spero siano tutte giuste come proposte