OliForum Matematico

Finiti i problemi di ammissione (non di texarli) e la scuola, propongo un problemino che a me é piaciuto. Molti di voi l'avranno giá visto.
Sia $ ABC $ un triangolo.
L’ex-cerchio $ \omega_A $ tange $ AB $ in $ P $ e $ AC $ in $ Q $; l’ex-cerchio
$ \omega_B $ tange $ BA $ in $ M $ e $ BC $ in $ N $.
Siano $ K, L $ le proiezioni di $ C $ su $ MN $, $ P Q $.
Dimostrare che $ MKLP $ `e ciclico.

Mi sono bloccato a dover dimostrare o che l'angolo $\widehat{CKL}$ è uguale ad ${\alpha\over 2}$ o che l'angolo $\widehat{CLK}$ è uguale ad ${\beta\over 2}$ o equivalentemente che il triangolo $CKL$ è simile al triangolo formato da $A$, $B$ e l'incentro.

Questo problema in realtà é fatto per le baricentriche...
Comunque, per chi vuole risolvere REALMENTE il problema, in spoiler 2 suggerimenti per la mia soluzione in sintetica.

Non troppo pesante Pesante P.S. Il titolo era proprio riferito alle baricentriche

Quindi è inutile un approccio in sintetica senza conoscere le baricentriche?

Per niente, ho una soluzione in sintetica pura (e anche carina).
Dato che nessuno ci ha provato metto un altro suggerimento

Vinci, non posso risponderti in MP perché hai disattivato i messaggi privati...

Mi han chiamato? Rispondo! Non posto una vera e propria soluzione (soprattutto perché non ne ho voglia) però dato che ho trovato parecchie soluzioni che differiscono un poco le posto:
Spero siano tutte giuste come proposte