CC=Condizioni di Ciclicità

[MATHia]

Siano $a,b,c,d\in\mathbb{R_+}$ le misure dei lati di un quadrilatero. Dimostra che esiste un quadrilatero ciclico i cui lati misurano $a,b,c,d$.

[Giovanni_98]

Testo nascosto:

Sia $ABCD$ il quadrilatero, dove $AB=a$ e cicliche. Sia $x=BD$ e $y=AC$. Notiamo allora che valgono le seguenti diseguaglianze $y+c>b$ e $a+d>y$ per la disuguaglianza triangolare, da cui $a+d>b-c$ (1) con wlog $b = \max\{a,b,c,d\}$. Siano ora $m,n,p,q$ reali corrispondenti ad una permutazione dei reali positivi $a,b,c,d$ e dimostriamo la tesi costruendo un quadrilatero ciclico con i lati dati. Sia $MNPQ$ il quadrilatero che vogliamo costruire, con $MN=m$ , $NP=n$ ecc. Deve valere $\angle QMN = 180 - \angle NPQ$ da cui $\cos{\angle QMN} = -\cos{\angle NPQ}$. Poniamo per brevità $\angle QMN = \theta$. Per il teorema di Carnot si ha $$NQ^2 = m^2 + n^2 - 2mn\cos{\theta} = p^2 + q^2 + 2pq\cos {\theta}$$
da cui $$\cos {\theta} = \dfrac{m^2+n^2-p^2-q^2}{2mn+2pq}$$
dove $\theta$ esiste se e solo se $\dfrac{m^2+n^2-p^2-q^2}{2mn+2pq} \in [-1,1]$.
Notiamo ora che se esistono $m,n,p,q$ che funzionano ma che rendono $\dfrac{m^2+n^2-p^2-q^2}{2mn+2pq} < 0$ allora esiste una permutazione che funziona tale che $\dfrac{m^2+n^2-p^2-q^2}{2mn+2pq}$ sia $>0$, quindi cerchiamo di trovarli in modo che $\dfrac{m^2+n^2-p^2-q^2}{2mn+2pq}$ sia $\ge 0$.
Deve quindi valere $$0 \leq m^2+n^2-p^2-q^2 \leq 2mn + 2pq$$
La seconda disuguaglianza equivale a $(m-n)^2 \le (p+q)^2$ che si riscrive, wloggando $m \ge n$ come $m-n \le p+q$, mentre la prima come $m^2+n^2 \ge p^2+q^2$. Sia $r := \max\{a,c,d\}$ e siano $s,g$ reali corrispondenti ad una permutazione dell'insieme $\{a,c,d\} - \{r\}$, allora per (1) ho $s+g > b-r$. Banale ora notare che la quaterna $(m,n,p,q) = (b,r,s,g)$ funziona e che quindi la tesi è dimostrata.

[MATHia]

Ottimo! L'idea è giusta, solo un paio di osservazioni:

Testo nascosto:

All'inizio mi sembra ci sia un typo:

Poniamo per brevità $\angle{QMN}=\theta$. Per il teorema di Carnot si ha
\[
NQ^2=m^2+n^2−2mn\cos{\theta}=p^2+q^2+2pq\cos{\theta}
\]

Se non ho capito male, essendo $MN=m$ e cicliche, stai scrivendo che
\[
NQ^2=MN^2+NP^2-2MN\cdot NP\cos{\hat{QMN}}=PQ^2+QM^2+2PQ\cdot QM\cos{\hat{QMN}}
\] e questo non è vero... Dovrebbe funzionare se prendi la diagonale $MP$ e definisci $\theta:=\angle{MNP}$, oppure se lasci diagonale e angolo invariato e poni $QM=m$, $MN=n$ e cicliche.

Poi non mi è chiaro a cosa servano il wlog iniziale sul fatto che $b$ sia massimo e quello nella parte finale: se $a,b,c,d $ sono misure dei lati di un quadrilatero, valgono $a<b+c+d$ e tutte le altre cicliche, per cui secondo me si può dimostrare tranquillamente senza wloggare.

L'ultima cosa che non ho capito e perché cerchi di trovare $\cos{\theta}\ge0$. Se trovi una quaterna tale che $\cos{\theta}<0$, basta che ti "sposti" due vertici avanti, dove l'angolo vale $\pi-\theta$, per cui $\cos{\theta'}\ge0$.

[Giovanni_98]

Ho scritto tutto di fretta e la figura l'ho fatta a mente, erano probabili errori di questo tipo XD.

Per la prima cosa , ho sbagliato a scrivere, intendevo QM =m ecc. proprio come hai detto tu.

Bho la seconda considerazione l'ho fatta per non avere problemi con i segni quando toglievo le radici nelle disuguaglianze.

La terza é per non considerare i due casi (relativi al segno della frazione)

Comunque forse ho allungato un po inutilmente il brodo, ma credo che la soluzione (togliendo l'errore di trascrizione), sia corretta, poi a te il giudizio

[MATHia]

Concordo, è corretta