Very cute problem

[FloatingPoint]

Problema bello e non difficile. Forse qualcuno lo conosce già.
Sia $r>1$ un irrazionale. Definiamo la sequenza
$$ R = (\lfloor r \rfloor, \lfloor 2r \rfloor, \lfloor 3r \rfloor,\ldots) $$
Sia ora $S$ la sequenza di interi positivi tale che:

• $S$ è strettamente crescente

• $S\cap R = \varnothing$

• $S\cup R = \mathbb Z_+$

Dimostrare che si ha
$$ S = (\lfloor s \rfloor, \lfloor 2s \rfloor, \lfloor 3s\rfloor,\ldots) $$
per qualche irrazionale $s$.

EDIT: un piccolo hint:

Testo nascosto:

Naccarato

[Gerald Lambeau]

Mi trovo d'accordo con il titolo, davvero un bel problema (a meno che non abbia cannato tutto ).

Testo nascosto:

$s=\dfrac{r}{r-1}$ (e quindi vale anche il viceversa).

Testo nascosto:

Allora possiamo dire WLOG $1<r<2$ e $2<s$ e il problema si divide in due fasi.

Testo nascosto:

Mostrare che non esistono interi positivi $n, m$ tali che $\lfloor ns \rfloor=\lfloor mr \rfloor$.

Testo nascosto:

Questo io l'ho fatto dividendo in tre casi: $m<n, m=n, m>n$.

Testo nascosto:

Basta sostituire cose e con agevoli rimaneggiamenti algebrici su bellissime disuguaglianza dovrebbe tornare tutto.

Testo nascosto:

Attenti a non fare come me che stavo quasi per abbandonare il problema perché c'erano degli uguali noiosi, l'irrazionalità di $r$ e $s$ porta le disuguaglianze con dei razionali ad essere strette.

Testo nascosto:

Ora dobbiamo mostrare che così mappiamo tutto $\mathbb{Z^+}$.

Testo nascosto:

Diciamo che le parti intere dei multipli interi di $r$ partono dai $1$ e vanno avanti in genere di uno in uno, e ogni tanto saltano di due

Testo nascosto:

Con $s$ si dovrà saltare da un valore mancato all'altro.

Testo nascosto:

Se $n$ è tale che $\lfloor nr \rfloor=m-1$ e $\lfloor (n+1) r \rfloor =m+1$ ho che, chiamando $\lfloor n(r-1) \rfloor=k$...

Testo nascosto:

...allora con $l=k+1$ dovrebbe essere (sempre che non abbia cannato le disuguaglianze) $\lfloor ls \rfloor=m$, e quindi abbiamo finito.

PS: perché quell'hint?

[Drago96]

Giusto per dare un nome alle cose
https://en.wikipedia.org/wiki/Beatty_sequence

[Gerald Lambeau]

Interessante!
A giudicare dalle dimostrazioni che propone Wikipedia, direi che anche la mia è giusta.

[FloatingPoint]

Interessante!
A giudicare dalle dimostrazioni che propone Wikipedia, direi che anche la mia è giusta.

Forse non ho ben capito, ma non credo tu possa

Testo nascosto:

fare un WLOG che scambia $r$ e $s$

ma quasi non lo usi, quindi va bene.
Chiaramente

Testo nascosto:

Naccarato $\to$ densità asintotica $\to$ formula esplicita per $s$

[Gerald Lambeau]

Forse non ho ben capito, ma non credo tu possa

Testo nascosto:

fare un WLOG che scambia $r$ e $s$

ma quasi non lo usi, quindi va bene.

Ma sì, se $1<r<2$ scrivo $r=1+e$ con $0<e<1$ e quindi $s=\dfrac{r}{r-1}=\dfrac{1+e}{e}=\dfrac{e}{e}+\dfrac{1}{e}=1+\dfrac{1}{e}$ e siccome $e<1$ ho $\dfrac{1}{e}>1$ quindi $s>2$.
Se invece $r>2$ scrivo $r=2+e$ con $0<e$ e quindi $s=\dfrac{r}{r-1}=\dfrac{2+e}{1+e}=\dfrac{2(1+e)-e}{1+e}=\dfrac{2(1+e)}{1+e}-\dfrac{e}{1+e}=2-\dfrac{e}{1+e}$, ma ovviamente $0<\dfrac{e}{1+e}<1$ perché $e>0$ quindi $1<s<2$.

Ne ho sempre uno maggiore di $2$ e uno compreso tra $1$ e $2$. Se $1<r<2$ allora la mia dimostrazione va bene e mi dice che per $r$ la scelta è $s=\dfrac{r}{r-1}$, ma mi dice anche che per $s>2$ la scelta è $r=\dfrac{s}{s-1}$, quindi in realtà se fosse $r>2$ saprei già che scelta fare.
Sì ok, magari non li prendo tutti, ma per risolvere quello mi basta mostrare la biettività di $\dfrac{x}{x-1}$ per $x>1$.

[FloatingPoint]

[...]
Ne ho sempre uno maggiore di $2$ e uno compreso tra $1$ e $2$. Se $1<r<2$ allora la mia dimostrazione va bene e mi dice che per $r$ la scelta è $s=\dfrac{r}{r-1}$, ma mi dice anche che per $s>2$ la scelta è $r=\dfrac{s}{s-1}$, quindi in realtà se fosse $r>2$ saprei già che scelta fare.
Sì ok, magari non li prendo tutti, ma per risolvere quello mi basta mostrare la biettività di $\dfrac{x}{x-1}$ per $x>1$.

Sì, in effetti hai perfettamente ragione