Triangoli pedali for dummies

[Lasker]

Dato un triangolo $ABC$, sia $A_1B_1C_1$ il triangolo pedale di un punto $P$ interno ad $ABC$ ($A_1\in BC$ e cicliche). Sia ora $a$ la perpendicolare a $B_1C_1$ condotta da $A$, e analogamente costruiamo $b$ ($B$ e $C_1A_1$) e $c$ ($C$ e $A_1B_1$). Dimostrare che $a,b,c$ concorrono.

[pipotoninoster]

Allora,

Testo nascosto:

Sia [math]Q l'intersezione fra [math]a e [math]B_1C_1. Dimostriamo che [math]a è la simmetrica di [math]AP rispetto alla bisettrice [math]AD di [math]\angle CAB ([math]D \in BC). Sia [math]\theta=\angle DAP. Allora [math]\angle PAB_1=\frac{\alpha}{2}-\theta. Per la ciclicità di [math]AB_1PC_1 e per il fatto che [math]a è perpendicolare a [math]B_1C_1 si ha che [math]\angle C_1AQ=\angle PC_1B_1=\angle PAB_1=\frac{\alpha}{2}-\theta. Dunque l'angolo tra [math]a e [math]AD vale [math]\frac{\alpha}{2}-\angle C_1AQ=\theta. Cioè [math]AP e [math]a sono simmetriche rispetto alla bisettrice.
Analogamente si dimostra lo stesso per [math]b e [math]c
A questo punto, siccome [math]AP, [math]BP, [math]CP concorrono, anche [math]a,b,c concorrono nel coniugato isogonale di [math]P

[Lasker]

Uhm credo che tu abbia qualche problema di configurazione se la dimostrazione è scritta così! Esplicita un po' meglio se usi angoli orientati (in particolare da quello che capisco hai messo $P$ a destra della bisettrice). Per il resto ci sta direi.

[pipotoninoster]

Sì, hai ragione. Ci sono due configurazioni, a seconda che P sia a destra o a sinistra rispetto alla bisettrice. Comunque la dimostrazione è praticamente la stessa anche nell'altra configurazione.