Primo problema nel forum

[Tilli]

Buonasera a tutti, sono nuovo nel forum e questo è il mio primo messaggio
Volevo chiedere se qualcuno può spiegarmi passo per passo il problema 8 del file che lascio in allegato.
Ho da poco iniziato a studiare Algebra e non ho ancora familiarità con i metodi risolutivi.

[Maionsss]

Ti do il benvenuto sul forum, spero di poterti essere d'aiuto come lo sono stati con me.
Prima della soluzione volevo farti notare una considerazione :
Sia $ p(x) =a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_2x^2+a_1x+a_o $
Allora la somma richiesta, ovvero $ \displaystyle \sum_{i=0} ^n (a_i) $ è equivalente a $ p(1) $.
Questa cosa tienila a mente perché ti può capitare di trovarla.

Testo nascosto:

Abbiamo che $ deg(p(x)) = 2008 $ e $ p(3)=p(4)=...=p(2010)=7 $
Quindi $ p(x) $si scrive come $ p(x)=\alpha(x-3)(x-4).....(x-2010)+7 $.
Per determinare $ \alpha $ usiamo la seconda relazione:
$ p(2011)= 2008!\alpha +7 = 50 /7 $
Quindi $ \alpha = 1/ 2008!*7 $
Ora che conosciamo $ p(x) $ possiamo trovarci $ p(1)=2009!\alpha + 7 =294 $

[Tilli]

Grazie mille, molto gentile
L' unica cosa che non mi è proprio chiara è quell' alpha che hai messo davanti nella scrittura di p(x)..

[Maionsss]

Vediamo se così ti è più chiaro

Testo nascosto:

Dai dati non possiamo stabilire se il coefficiente del termine di grado $ 2008 $ è uguale a $ 1 $ (quindi se $ p(x) $ è monico) quindi supponiamo sia $ \alpha $ è immaginiamo di raccogliere $ \alpha $ tra tutti i termini del polinomio.
Avremo $ p(x) =\alpha p _1(x) $ con $ p_1(x)=(x-3)(x-4)...(x-2010) $.
Sappiamo però che $ deg(p(x)) =deg(p_1(x))=2008 $ quindi $ deg(\alpha) =0 $ ovvero $ \alpha $ è una costante, un numero.
Da qui per determinare $ \alpha $ si procede come in soluzione

[Tilli]

Grazie ancora, ora ho capito