Inscrivere in un triangolo dato un altro triangolo
<BR>i cui lati abbiano direzioni assegnate.
<BR>
Il problema geometrico duale... o quasi.
Moderatore: tutor
Sia ABC il triangolo dato ed x,y,z le direzioni assegnate.
<BR>Si prenda sul lato AB (ad es.) un punto M e da esso si tiri
<BR>la parallela alla direzione x fino ad incontrare,a meno
<BR>di casi particolari, il lato AC nel punto R.Si tiri da R la
<BR>parallela alla direzione y fino ad incontrare il lato BC nel
<BR>punto S.Ed infine si tiri da S la parallela alla direzione z
<BR>fino ad incontrare il lato di partenza AB nel punto M\'.
<BR>Nasce cosi\' una corrispondenza ( M,M\') tra i punti
<BR>di AB,corrispondenza che e\' una proiettivita\' perche\' ottenuta
<BR>con un numero finito di proiezioni e sezioni.Tale proiettivita\'
<BR>ha due punti uniti (M coincidente con M\'),ognuno dei quali
<BR>risolve il problema proposto.
<BR>Infatti se M e\' uno di questi punti uniti,applicando ad esso la
<BR>precedente costruzione,si torna ad M e dunque il triangolo
<BR>MRS,avendo i lati MR,RS,SM rispettivamente paralleli alle
<BR>direzioni assegnate x,y,z e\' il triangolo richiesto.
<BR>
<BR>[I punti uniti di una proiettivita\' si possono trovare con
<BR>la cosidetta \"Costruzione di Steiner\".]
<BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
<BR>Si prenda sul lato AB (ad es.) un punto M e da esso si tiri
<BR>la parallela alla direzione x fino ad incontrare,a meno
<BR>di casi particolari, il lato AC nel punto R.Si tiri da R la
<BR>parallela alla direzione y fino ad incontrare il lato BC nel
<BR>punto S.Ed infine si tiri da S la parallela alla direzione z
<BR>fino ad incontrare il lato di partenza AB nel punto M\'.
<BR>Nasce cosi\' una corrispondenza ( M,M\') tra i punti
<BR>di AB,corrispondenza che e\' una proiettivita\' perche\' ottenuta
<BR>con un numero finito di proiezioni e sezioni.Tale proiettivita\'
<BR>ha due punti uniti (M coincidente con M\'),ognuno dei quali
<BR>risolve il problema proposto.
<BR>Infatti se M e\' uno di questi punti uniti,applicando ad esso la
<BR>precedente costruzione,si torna ad M e dunque il triangolo
<BR>MRS,avendo i lati MR,RS,SM rispettivamente paralleli alle
<BR>direzioni assegnate x,y,z e\' il triangolo richiesto.
<BR>
<BR>[I punti uniti di una proiettivita\' si possono trovare con
<BR>la cosidetta \"Costruzione di Steiner\".]
<BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
Ecco la costruzione di Steiner.
<BR>Essa consiste nel trasportare la proiettivita\' dalla retta su di una circonferenza arbitraria c.
<BR>Si costruiscano su AB (lato del triangolo) tre coppie di punti corrispondenti:
<BR>(P,P\') ,(Q,Q\'),(T,T\') ;si proiettino queste coppie da un punto O di c in modo da ottenere su c altre tre coppie di punti corrispondenti in una proiettivita\' su c.Esse coppie siano (F,F\') ,(G,G\') ,( H,H\').Siano I e J le intersezioni delle due coppie di rette [FG\',F\'G] e [FH\',F\'H]:la retta IJ interseca la c nei due punti
<BR>W1 e W2 che sono i due punti uniti della proiettivita\' su c.Infine proiettando
<BR>da O su AB i punti W1 e W2 si otterranno,su AB, i due punti uniti U1 ed U2 della proiettivita\' su AB.
<BR>Scusate le ripetizioni.
<BR>Essa consiste nel trasportare la proiettivita\' dalla retta su di una circonferenza arbitraria c.
<BR>Si costruiscano su AB (lato del triangolo) tre coppie di punti corrispondenti:
<BR>(P,P\') ,(Q,Q\'),(T,T\') ;si proiettino queste coppie da un punto O di c in modo da ottenere su c altre tre coppie di punti corrispondenti in una proiettivita\' su c.Esse coppie siano (F,F\') ,(G,G\') ,( H,H\').Siano I e J le intersezioni delle due coppie di rette [FG\',F\'G] e [FH\',F\'H]:la retta IJ interseca la c nei due punti
<BR>W1 e W2 che sono i due punti uniti della proiettivita\' su c.Infine proiettando
<BR>da O su AB i punti W1 e W2 si otterranno,su AB, i due punti uniti U1 ed U2 della proiettivita\' su AB.
<BR>Scusate le ripetizioni.