Analisi&Geometria

Messaggio da **EvaristeG** » 01 gen 1970, 01:33

Come forse tutti sapete, è assai difficile costruire certe cose con riga e compasso.
 Nonostante questo vi sono molte costruzioni approssimate; quella che vi propongo è la costruzione di Gergonne (sì, lo stesso del punto di Gergonne).
 
 Dato un segmento AB, si tracci la perpendicolare ad esso passante per B e la si chiami r. Si segni su r O tale che BO=AB. Sia A_1 il punto medio di AO. Si riporti su r il segmento OO_1=OA_1, si segni su A_1O_1 il punto medio A_2, si trovi O_2 tale che etc. etc avanti così per moooolto tempo. Calcolare il rapporto a cui tende AB/O_(n)O_(n+1) per n che va all\'infinito.
 Per chi non volesse o non potesse affrontare la cosa in maniera analitica, c\'è l\'elegante strada di dimostrare che questa costruzione è equivalente ad un\'altra, di cui ben si sa la convergenza.
 
 Buon Lavoro!
 
 SUPPLICA DELLO SCRIVENTE: a tutti coloro che vedendo questo problema diranno \"Ah sì, l\'ho visto lì o là, copio la soluzione\" oppure \"Ah che cavolata, scrivo la risposta in tre secondi\" rivolgo una sincera preghiera: non vi chiedo di non postare la soluzione, non sarebbe giusto, ma poichè il problema non è dei più difficili, anche se lasciate tempo agli altri di riflettere e magari postare la loro, non ve ne verrà alcun male...EG <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

J4Ck202 · Messaggio da **J4Ck202** » 01 gen 1970, 01:33

Beh, non direi che il problema sia *esattamente* trivial...
 Applicando ripetutamente il teorema dell\'angolo esterno,
 visto che tutti i triangoli utili sono isosceli, abbiamo
 
 O[j]O[j+1] = O[j-1]O[j] * Cos(pi / 2^(j+2))
 
 Dunque
 
 T = lim[j->+inf] O[j]O[j+1] = prod[k=2..+inf] Cos( pi / (2^k) )
 
 Qui possiamo sbizzarrirci con la prostaferesi fino ad ottenere [A]
 
 T = lim[j->+inf] 2^(-j) sum[k=0..2^j-1] Cos( (2k+1)pi / (2^(j+2)) )
 
 In pratica ci stiamo chiedendo quale sia l\'ascissa del baricentro
 di un quarto-di-circonferenza di raggio unitario (piano di Gauss per credere)..
 
 Ora la [A] può essere interpretata come somma di Riemann
 (integrale col metodo dei rettangoli), fino ad ottenere
 
 T = (2 / pi) int[0..pi/2] Cos(x) dx
 
 Meravigliosamente
 
 T = 2 / pi
 
 Ciò significa che la costruzione di Gergonne \"quasi rettifica\"
 la circonferenza.. molto molto carino.
 (EvaristeG: questo entra di diritto nella dispensa <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">)
 
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: J4Ck202 il 24-02-2004 02:30 ]

Messaggio da **EvaristeG** » 01 gen 1970, 01:33

Ma per l\'amor del cielo... Jack sei un mito!! Riesci a complicare i problemi semplici!!!
 Ti immagini che io possa anche lonatanamente arrivare ad una simile perversione analitica???
 L\'analisi che rientra in questo esercizio è un limituccolo quasi banale...cmq la tua soluzione è ovviamente giusta!!! La costruzione di Gergonne quasi rettifica la circonferenza.
 Ma ora prego chiunque ne abbia un poco di voglia di buttar giù una soluzione più umana del quesito.
 
 
 (Jack202 : ovvio che ci entra, insieme a molte altre che ho qui in giro <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> ).

karl · Messaggio da **karl** » 01 gen 1970, 01:33

Per semplicita\' di scrittura poniamo:
 Pi/4=x,sqrt(2)=b.
 Si ha:
 AO=ab
 A1O=ab/2--->OO1=ab/2;
 A1O1=abcosx/2---->O1O2=ab/2*cos(x/2)
 A2O2=abcos(x/2)*cos(x/4)--->O2O3=ab/2*cos(x/2)*cos(x/4)
 ......
 .......
 OnOn+1=ab/2*cos(x/2)cos(x/2^2)cos(x/2^3)*....*cos(x/2^n).
 Ma :
 (1) cos(x/2)cos(x/2^2)cos(x/2^3)*....*cos(x/2^n)=sin(x)/((2^n)*sin(x/2^n))
 Dunque:
 lim[n-->+inf]OnOn+1=ab/2*sinx/x
 e pertanto:
 lim(AB/OnOn+1)= 2x/(bsinx)=(2*Pi/4)/(sqrt(2)*sqrt(2)/2)=PI/2.
 
 La relazione (1) e\' facilmente dimostrabile e ,se qualcuno vuole
 posso farlo,anche se non credo sia necessario.
 
 
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Messaggio da **EvaristeG** » 01 gen 1970, 01:33

Ce n\'è di ancora più semplici...perchè mai arrivare a far prodotti di coseni??

karl · Messaggio da **karl** » 01 gen 1970, 01:33

Di piu\' semplici ce ne saranno sicuramente.
 Speriamo che qualche altro ci arrivi
 Cmq ecco la dimostrazione della (1):
 sin(x/2^0)=2sin(x/2)cos(x/2)
 sin(x/2^1)=2sin(x/2^2)cos(x/2^2)
 ........
 ........
 sin(x/2^(n-1))=2sin(x/2^(n))cos(x/2^(n))
 Moltiplicando membro a membro ed eliminando i fattori comuni:
 sin(x)=2^(n)*sin(x/2^n)*cos(x/2)cos(x/2^2)cos(x/2^3)*....*cos(x/2^n)
 da cui la (1).
 Saluti.
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sprmnt21 · Messaggio da **sprmnt21** » 01 gen 1970, 01:33

Non sono certo di aver bene interpretato il problema. Percio\' preciso che cerchero di trovare il limite del rapporto AB/OO_n per n-->oo (con le lettere usate nel testo).
 
 nel mio ragionamento, faccio riferimento alla figura che descrivo di seguito con le lettere cambiate rispetto a quelle dell\'enunciato: cerchio di raggio r con centro nell\'origine di un sistema di assi cartesiani; considero la parte che sta nel primo quadrante con estremi dell\'arco A (su asse ascisse) e B (su asse ordinate).
 
 Sia A1 il punto medio del segmento AB e C1 il punto medio dell\'arco (AB.
 
 1) Si ha che r/OA1 = AB/r;
 
 2) sia B1 su OB tale che OB1=OA1 e sia A2 il punto medio di A1B1. Dalla 1) (essendo OA1A2 simile a BC1A1) moltiplicando ambo i membri per OA1/OA2 = BC1/BA1 = 2BC1/AB, si ha che
 r/OA1*OA1/OA2 = 2 BC1/r.
 
 ...
 
 in generale si ha che
 
 r/OAn = 2^nBCn/r.
 
 Ma l\'espressione al secondo membro e\' l\'approssimazione (arhimedea?) per difetto del rapporto tra un quarto di cerchio e il suo raggio.
 Cioe\' r/AOn -->PI/2.

Messaggio da **EvaristeG** » 01 gen 1970, 01:33

Sì sì, archimedea!!
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