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Sappiamo che $P$ è il centro di $(BIC)$.... (*).

$\angle BPC = 60 \rightarrow \angle BDC=150, \angle YDC =30$.

$\angle YBC + \angle XCB = 30 \rightarrow \widehat{CY} + \widehat{XB} = 60 $.... (1).

$\widehat{AX} + \widehat{XB} = 60 $.... (2).

$(1) = (2) \rightarrow \widehat{AX} = \widehat{CY}$.

Quindi $AX=8$.

$AOB$ è un triangolo equilatero e $\angle BXA = 150$.

Teorema del coseno in $\Delta BXA \rightarrow AB^2= 12^2 + 8^2 - 2*12*8*cos(150)$

$AB^2= 208 + 96\sqrt{3}$.

$area(ABC) = area(AOB) = (208 + 96\sqrt{3})\frac{\sqrt{3}}{4} = 72 + 52\sqrt{3}$. (*) https://gogeometry.blogspot.com/2008/08 ... m-154.html