numeri & reali

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

i)a,b,c >= 0 ==> 2sqrt(ab+bc+ac)<=sqrt(3)*cbrt[(b+c)(c+a)(a+b)]
 ii)Si=somma dei prodotti di 1,2,...,p-1 presi i alla volta (p primo >2). allora S1=S2=...=Sp-2=0 (mod p)
 questo è carino, anche se piuttosto famoso
 
 (cbrt=cubic root) [ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 06-03-2004 19:55 ]

info · Messaggio da **info** » 01 gen 1970, 01:33

[1]Per la prima:
 cbrt[(b+c)(c+a)(a+b)]<=2/3*(a+b+c)
 Per la diseuguaglianza tra la media aritmetica e geometrica.
 La disuguaglianzasi riduce a:
 3*sqrt(ab+ac+bc)<=sqrt(3)*(a+b+c)
 Elevando al quadrato e sviluppando il quadrato si trova l\'oramai classica:
 a^2+b^2+c^2 >= ab+ac+bc
 dimostrabile con il riarrangiamento o come volete voi!

karl · Messaggio da **karl** » 01 gen 1970, 01:33

Mi sembra che ci sia un difetto di logica
 nella dimostazione di Info.
 E\' come se si fosse dimostrato che se A<=C e B<=C allora e\' anche
 A<=B.
 Ma forse sto sbagliando.

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

mi dispiace info, ma karl ha + che ragione

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

uff..alla fine ha ceduto <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
 si consiglia di non provare a utilizzare medie e affini, visto che la disug mi sembra piuttosto forte

info · Messaggio da **info** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-03-07 13:10, talpuz wrote:
 mi dispiace info, ma karl ha + che ragione
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Nn dispiacerti...Effettivamente ho scritto una gran cavolata...succede! Sapete com\'è, quando i calcoli tornano chi stà a ricontrollare!
 Cmq nn lasciate il problema senza sol!
 Ciao

psion_metacreativo · Messaggio da **psion_metacreativo** » 01 gen 1970, 01:33

ho calcolato che la disuguaglianza proposta da talpuz è equivalente alla seguente (che ritengo più semplice)
 
 2/3 *abc+ 3* (a+b+c) + 27/(a+b+c+3) <= (a^2 + b^2 + c^2) +9
 
 ma non riesco a dimostrare che è vera per ogni a,b,c>0, qualcuno me la risolve e scrive i calcoli? thanks..

euler_25 · Messaggio da **euler_25** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-03-06 19:54, talpuz wrote:
 ii) Si=somma dei prodotti di 1,2,...,p-1 presi i alla volta (p primo >2). allora S1=S2=...=Sp-2=0 (mod p)
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Essendo p un primo intero > 2, consideriamo il polinomio P(x) := xp-1-1, con x€Z. Per il piccolo teorema di Fermat, l\'equ. modulare: P(x) ≡ 0 (mod p) possiede esattamente le radici 1, 2, ..., p-1, e di conseguenza il polinomio P(-) è identicamente congruo, mod p, al polinomio Q(x) := prod[k=1...p-1] (x-k). Del resto, svolgendo esplicitamente i prodotti:
 
 <center>Q(x) = sum[k=0...p-1] σk xp-1-k</center>
 
 ove s\'è posto σ0 := 1 ed σk := sum[(i1 i2... ik)€D] (-1)k i1i2...ik, per k = 1, 2, ..., p-1, essendo D l\'insieme di tutte le possibili disposizioni semplici di k elementi scelti nell\'insieme {1, 2, ..., p-1} per le quali i1 < i2 < ... < ik.
 
 A questo punto, dacché si è detto essere: P(x) ≡ Q(x) (mod p), per confronto fra i coefficienti dei termini di grado p-1-k ai due membri dell\'identità modulare così ottenuta, per k = 1, 2, ..., p-2, si conclude che:
 
 <center>p.o. k = 1, 2, ..., p-2: σk ≡ 0 (mod p)</center>
 
 che è la tesi, dacché le somme Sk definite dal problema di Talpuz sono tali per cui: Sk ≡ 0 (mod σk), per ogni k = 1, 2, ..., p-2. FINE!!! [ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 09-03-2004 02:14 ]

euler_25 · Messaggio da **euler_25** » 01 gen 1970, 01:33

Per inciso... e poi vado a dormire... la soluzione precedente suggerisce, fra l\'altro, un modo alternativo di dimostrare il teorema di Wilson, di cui giust\'appunto si era discusso qualche 3d orsono! OK... buona notte!!! [ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 09-03-2004 02:34 ]

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

esatto, compliments
 
 psion, la tua riscrittura non mi sembra così illuminante, anche perchè si presta molto a disuguaglianze tra le medie, che sono troppo \"violente\" <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif">
 
 provate piuttosto a sostituire a+b=x, b+c=y, c+a=z, e a utilizzare disuguaglianze più \"essenziali\"
 
 [non è detto che nella forma in cui l\'hai scritta tu non venga, anzi, se ci riesci fammi sapere <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">] [ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 09-03-2004 20:03 ]

Messaggio da **ma_go** » 01 gen 1970, 01:33

a me pare che dalla disuguaglianza di psion risulti quasi ovvia O_o

psion_metacreativo · Messaggio da **psion_metacreativo** » 01 gen 1970, 01:33

anche a me risulta quasi ovvia, perchè si vede anche ad occhio eppure non riesco a formalizzare questa intuizione....

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

beh, non ho mica detto che sono sicuro che da lì non ci si arrivi..
 se ci riuscite, tanto di cappello <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

Messaggio da **ma_go** » 01 gen 1970, 01:33

uhm...
 mi sono accorto che quell\' \"abc\" è piuttosto rognoso, e rovina un po\' tutto...
 almeno,così ad occhio e croce,senza far troppi conti.

psion_metacreativo · Messaggio da **psion_metacreativo** » 01 gen 1970, 01:33

e io mi sono accorto che quella che ho scritto è sì vera, nel senso che deriva da quella di Talpuz, però è giustificata non tanto dai conti che ho fatto io che ho sbagliato ma considerando che a, b, e c sono positivi il passaggio da errato diventa fattibile.
 La disuguaglianza esatta sarebbe questa,
 
 (abc)*(4/3*(a+b+c)^2 + 3*(a+b+c)) +(a^3+b^3+c^3)*((a+b+c)/3 +1) <= 2*(a^2+b^2+c^2)*(a+b+c) + 2/3*(a+b+c)^4+(((a+b+c)^3)/2)+3abc
 
 (cmq mi sembra più rognosa, quindi conviene provare a dimostrare l\'altra)