calcoli

Embalmed · Messaggio da **Embalmed** » 01 gen 1970, 01:33

Ah!
 
 Sia F[1]=1 F[2]=2 e F[n+1]=F[n]+F[n-1]
 
 Se converge, quanto vale SUM[1-infinito] arctan(1/F[2n]) ?
 
 Alla faccia vostra.

euler_25 · Messaggio da **euler_25** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-03-07 14:47, Embalmed wrote:
 Ah!
 
 Sia F[1]=1 F[2]=2 e F[n+1]=F[n]+F[n-1]
 
 Se converge, quanto vale SUM[1-infinito] arctan(1/F[2n]) ?
 
 Alla faccia vostra.
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Uhm... OK, ci sono! Innanzitutto, si dimostra per via induttiva che:
 
 p.o. k€N0: F[2k]*F[2k+1] = F[2k-1]*F[2k+2] + 1 ==>
 
 p.o. k€N0: ==> 1/F[2k-1] = F[2k+2]/(F[2k]*F[2k+1] - 1).......(E.1)
 
 onde dedurne (una volta ancora per induzione, passando per le formule di addizione della tangente circolare) che:
 
 p.o. n€N0: Pi/4 = sum[k=1...n] arctg(1/F[2k]) + arctg(1/F[2n+1])
 
 E dacché F[2n+1] --> +inf per n --> +inf, tanto è sufficiente per poter concludere (in ultima analisi) che la serie sum[n=1...+inf] arctg(1/F[2n]) è convergente (in senso ordinario), con somma pari a Pi/4.
 
 Ora, Emb...ecille o come diamine ti chiami, senti un po\'... ti credi così bravo da poterti arrogare poi il diritto di venir per questo tempio dedicato al culto del divino ingegno ed oltraggiar col gigionesco tuo bofonchio l\'arte, il luogo e le sue devote genti? Cos\'è tutto questo ardire? Davvero ti pensi di poter beffeggiar qualcuno in questo foro? E in che modo mai, di grazia? Con l\'insulsa tua intangibile idiozia? Orsù, datti una tregua, non esser presuntuoso, ché per questo verso (fidati di me) c\'è ben già chi t\'è più maggio...
 
 P.S.: e comunque non prendertela, Embalmed... come si dice in questi casi... verba de verbo!!! Pensaci la prossima volta, prima di assecondar così le voluttà delle tue impudenti dita... o leggiti Terenzio, che è tanto meglio!!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 08-03-2004 23:07 ]

euler_25 · Messaggio da **euler_25** » 01 gen 1970, 01:33

Bene, visto che siamo in tema e dacché mi par ti piacciano sì tanto le serie... mi permetto di renderti un omaggio, Embalmed... così, giusto per levarti d\'imbarazzo e fornirti l\'occasione per darci un saggio dell\'eroico tuo valore...
 
 Problema: essendo p un primo intero > 2, calcolare (quand\'anche esista) il limite: limn --> +inf (sum[k=1...n] kp)/np+1.
 
 P.S.: beh, adesso posso dirlo anch\'io... ah, alla faccia TUA!!! [ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 08-03-2004 23:21 ]

J4Ck202 · Messaggio da **J4Ck202** » 01 gen 1970, 01:33

Viene in due passaggi con l\'integrale di Eulero - MacLaurin.
 (la sommatoria con i numeri di Bernoulli, per intenderci).

euler_25 · Messaggio da **euler_25** » 01 gen 1970, 01:33

Uffaaa... ma tu farti i fattacci tuoi mai, vero? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
 
 Comunque, EMBALMED... adesso che Jack ti ha dato l\'input... tu potresti illuminarci sui dettagli, che ne pensi??? Suvvia, non puoi tirarti indietro...
 
 Nel frattempo, siccome il capellone mi ha guastato un po\' i progetti...
 
 Problema: calcolare l\'integrale int[0...Pi/2] dx/(1+[tg(x)]sqrt(2)). [ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 09-03-2004 02:35 ]

karl · Messaggio da **karl** » 01 gen 1970, 01:33

Mi permetto di far osservare che la somma
 sum[k=1...n] k^p espressa con i numeri
 di Bernoulli e\' stata indicata dal sottoscritto
 nel post di euler_25 titolato:
 \"I problemi...si affrontano alla radice\".
 Una soluzione(elementare) diretta del limite richiesto puo\' essere questa:
 Scegliamo x>0 e <>1,m >1.
 Si ha:
 m<(x^m-1)/(x-1)<m*x^(m-1)
 ovvero
 m*(x-1)<x^(m)-1<m*(x-1)x^(m-1)
 Poniamo m-1=k,x-->x/y:
 (k+1)*(y^k)*(x-y)<x^(k+1)-y^(k+1)<(k+1)*(x^k)*(x-y)
 Scegliamo ora y in modo che x-y=1.Cio\' puo farsi (in particolare)
 in due modi
 1)x=p ,y=p-1 2)x=p+1,y=p
 Avremo (ometto i passaggi):
 p^(k+1)-(p-1)^(k+1)<(k+1)p^k<(p+1)^(k+1)-p^(k+1)
 Facendo variare p da 1..n e sommando:
 n^(k+1)<(k+1)(1^k+2^k+...+n^k)<(n+1)^(k+1)-1
 Da cui,dividendo per (k+1)n^(k+1):
 1/(k+1)<(1^k+2^k+...+n^k)/n^(k+1)<1/(k+1)*[(1+1/n)^(k+1)-1/(n^(k+1))]
 E passando al limite per n-->+inf si ottiene(per un noto teorema):
 lim(1^k+...+n^k)/n^(k+1)=1/(k+1).
 Nota Importante.
 Il testo che io vedo non corrisponde per niente
 a quello che ho scritto e cio \' rende incomprensibili
 alcuni passaggi.Ho tentato piu\' volte,come del resto si vede,di modificare
 senza alcun risultato.Come mai?
 
 
 
 
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 09-03-2004 11:47 ]
 
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 09-03-2004 17:47 ]
 
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 09-03-2004 17:48 ]
 
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 09-03-2004 17:49 ]
 
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 09-03-2004 17:56 ]
 
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 09-03-2004 18:00 ] [ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 09-03-2004 18:00 ]

Embalmed · Messaggio da **Embalmed** » 01 gen 1970, 01:33

>Ora, Emb...ecille o come diamine ti chiami, senti un po\'... ti credi così bravo >da poterti arrogare poi il diritto di venir per questo tempio dedicato al culto >del divino ingegno ed oltraggiar col gigionesco tuo bofonchio l\'arte, il luogo >e le sue devote genti? Cos\'è tutto questo ardire? Davvero ti pensi di poter >beffeggiar qualcuno in questo foro? E in che modo mai, di grazia? Con >l\'insulsa tua intangibile idiozia? Orsù, datti una tregua, non esser >presuntuoso, ché per questo verso (fidati di me) c\'è ben già chi t\'è più >maggio...
 >
 >P.S.: e comunque non prendertela, Embalmed... come si dice in questi >casi... verba de verbo!!! Pensaci la prossima volta, prima di assecondar così >le voluttà delle tue impudenti dita... o leggiti Terenzio, che è tanto meglio!!!
 
 Ma, tecnicamente, tu mi conosci? E sempre tecnicamente, qualcuno, ti ha chiesto un opinione che non riguardi la serie?
 Oppure sei così generoso che ci dispensi del miele delle tue parole senza che nessuno ne abbia chiesto una dose?
 
 Vabbè... come si dice qui.... ci si vede nel buristo.

euler_25 · Messaggio da **euler_25** » 01 gen 1970, 01:33

Karl, sto leggendo la tua soluzione, che riporto integralmente qui di seguito. Stranamente accade che, quotando il tuo intervento, il testo che ne risulta è differente da quello visualizzato sul 3d! Boh, non so che dirti! Sarà semplice-mente che ogni tanto il sito fa le bizze... un po\' come certa gente, dopotutto! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
 
 <TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-03-09 11:20, karl wrote:
 Mi permetto di far osservare che la somma sum[k=1...n] k^p espressa con i numeri di Bernoulli e\' stata indicata dal sottoscritto nel post di euler_25 titolato: \"I problemi... si affrontano alla radice\".
 
 Una soluzione (elementare) diretta del limite richiesto puo\' essere questa:
 Scegliamo x>0 e <>1, m >1. Si ha:
 m < (x^m - 1)/(x-1) < m*x^(m-1)
 ovvero:
 m*(x-1) < x^m - 1 < m*(x-1)*x^(m-1)
 Poniamo m-1 = k, x-->x/y:
 (k+1)*(x-y)*y^k < x^(k+1) - y^(k+1) < (k+1)*(x-y)*x^k
 Scegliamo ora y in modo che x-y = 1. Ciò può farsi (in particolare)
 in due modi: 1) x = p , y = p-1; 2) x = p+1, y = p.
 Avremo (ometto i passaggi):
 p^(k+1) - (p-1)^(k+1) < (k+1)*p^k < (p+1)^(k+1) - p^(k+1)
 Facendo variare p da 1...n e sommando:
 n^(k+1) < (k+1)(1^k+2^k+...+n^k) < (n+1)^(k+1) - 1
 Da cui,dividendo per (k+1)*n^(k+1):
 1/(k+1)<(1^k+2^k+...+n^k)/n^(k+1)<1/(k+1)*[(1+1/n)^(k+1)-1/(n^(k+1))]
 E passando al limite per n-->+inf si ottiene (per un noto teorema):
 lim(1^k+...+n^k)/n^(k+1)=1/(k+1).
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Comunque, Karl, se potesse servirti per il futuro... gli apici in html si inseriscono con il codice [sup] \"testo\" [/sup]; i pedici invece con [sub] \"testo\" [/sub], sostituendo alle quadre le parentesi angolari. Mi permetto di appuntarlo soltanto nel caso in cui non ti dovesse essere già noto! Diversamente.... fa pure finta che non t\'abbia detto nulla! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 09-03-2004 20:22 ]

euler_25 · Messaggio da **euler_25** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-03-09 18:05, Embalmed wrote:
 
 Ma, tecnicamente, tu mi conosci? E sempre tecnicamente, qualcuno, ti ha chiesto un opinione che non riguardi la serie?
 Oppure sei così generoso che ci dispensi del miele delle tue parole senza che nessuno ne abbia chiesto una dose?
 
 Vabbè... come si dice qui.... ci si vede nel buristo.
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Ancora tecnicamente... l\'articolo indeterminativo pretende l\'apostrofo quando antecede uxorei verbum generis, ti risulta? In quanto al resto... beh sì, mi hai scoperto... devo ammetterlo!!! Ci ho un animo taaanto generoso! Te ne sei accorto pure tu? Capperi, che ragazzo sveglio! <IMG SRC="images/forum/icons/icon24.gif"> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 09-03-2004 19:09 ]

euler_25 · Messaggio da **euler_25** » 01 gen 1970, 01:33

OK, Karl! Ho appena finito di leggere la tua soluzione!!! Cosa si dice in questi casi... 10 e lode??? Beh, allora... facciamo pure 11, suvvia!!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 09-03-2004 19:03 ]

J4Ck202 · Messaggio da **J4Ck202** » 01 gen 1970, 01:33

Davvero notevole quell\'integrale, Euler..
 Innanzitutto sostituiamo x=atan(y) portando la nostra attenzione su
 
 int[0..+inf] 1/ [ (1+y^2)(1+y^sqrt(2)) ] dy =
 
 int[0..+inf] 1/ (1+y^sqrt(2)) dy +
 int[0..+inf] (1 / (1 + (1/y^2))) / (1+y^sqrt(2)) dy
 
 Ora spacco in serie geometrica 1 / (1 + (1/y^2))
 [ecco detto perchè l\'ho scritto in questa maniera sgradevole]
 e poi sfrutto il fatto che per k naturale maggioreuguale a 1
 
 int[0..+inf] 1 / [ y^(2k) * (1+ y^sqrt(2)) ] dy =
 - pi / (sqrt(2) sin((2k-1)pi/sqrt(2)))
 
 mentre
 
 int[0..+inf] 1 / (1 + y^sqrt(2)) dy = pi/(sqrt(2) sin(pi/sqrt(2)))
 
 e tutto questo deriva in modo abbastanza brutale dal fatto che
 
 d/dx atan(x^k) = k x^(k-1) / (1 + x^(2k))
 
 ciò che resta dopo l\'integrazione è una gradevole sommatoria
 di cosecanti, che come solito viene trucidata tramite passaggio
 ai complessi. Alla fine risulta
 
 int[0..pi/2] 1 / (1 + Tan[x]^Sqrt(2)) dx = pi/4
 
 davvero notevole.

euler_25 · Messaggio da **euler_25** » 01 gen 1970, 01:33

Beh... davvero notevole sei TU, altro che pippe! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

J4Ck202 · Messaggio da **J4Ck202** » 01 gen 1970, 01:33

Mon dieu, riguardando il mio bel foglio zeppo di conti mi rendo conto
 di qualcosa di davvero allucinante.. se al posto di quella radice di 2
 ci fosse stata una radice di 37 non sarebbe cambiato assolutamente nulla!
 Ciò significa che ho utilizzato un metodo altamente inefficiente..
 Indagherò..
 
 per ogni k positivo
 int[0..pi/2] 1 / (1 + Tan[x]k) dx = pi/4
 
 ---
 
 Ultim\'ora : se smontiamo la somma finale interpretandola
 come somma di Riemann (invece che passare ai complessi,
 scomodo e contoso) vediamo che quel magico k, alla fine
 delle danze, si semplifica! Ecco svelato il mistero..
 
 ---
 
 Ultimissima ora : ma che dico! Ho usato cannoni per
 abbattere un piccione.. la maledetta f(x) = 1 / (1 + Tan[x]k)
 è simmetrica rispetto al punto (pi/4 ; 1/2), dunque l\'integrale vale,
 indipendentemente da k, metà dell\'area del rettangolo (0;0) (pi/2;0)
 (pi/2;1) (0;1)... cioè pi/4 senza tanta fatica. Scommetto che il problema
 è un Putnam, solo lì ho visto applicare trucchi biechi come questo...
 
 
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: J4Ck202 il 09-03-2004 19:47 ]

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

c\'è anche sul Larson (o sull\'Engel, non ricordo bene) ed è risolto proprio usando quella simmetria <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

karl · Messaggio da **karl** » 01 gen 1970, 01:33

Ringrazio Euler_25 sia per il voto che mi da\' (e che reputo
 del tutto immeritato), sia per la scrittura di apici e pedici
 che sinceramente non conoscevo.
 A ben risentirci sul forum.