area settore circolare

azzurra · Messaggio da **azzurra** » 01 gen 1970, 01:33

SAlve,
 consideriamo il settore circolare (si chiama così?) formato da due circonferenze concentriche di raggi R\' ed R\'\' (diciamo R\'=1 ed R\'\'=10)
 ora tracciamo una tangente al cerchio più piccolo essa dividerà l\'area del cerchio grande in due settori. Qual\'è l\'area di quella piccola?
 Adoperando il calcolo integrale a me viene(R\'\')^2(Pigreco/2-arcsin R\'/R\'\')-((R\'\')^2-(R\')^2)^(1/2), mentre al testo viene lo stesso risultato con 1/2(R\'\')^2 come primo fattore.
 Chi ha ragione?

mens-insana · Messaggio da **mens-insana** » 01 gen 1970, 01:33

Si chiama corona circolare l\'area compresa tra due circonferenze concentriche se non ricordo male....[addsig]

euler_25 · Messaggio da **euler_25** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-03-15 16:34, azzurra wrote:
 ...consideriamo il settore circolare (si chiama così?) formato da due circonferenze concentriche di raggi R\' ed R\'\' (diciamo R\'=1 ed R\'\'=10)
 ora tracciamo una tangente al cerchio più piccolo essa dividerà l\'area del cerchio grande in due settori. Qual\'è l\'area di quella piccola?
 Adoperando il calcolo integrale a me viene(R\'\')^2(Pigreco/2-arcsin R\'/R\'\')-((R\'\')^2-(R\')^2)^(1/2), mentre al testo viene lo stesso risultato con 1/2(R\'\')^2 come primo fattore.
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Siano C1 e C2 due circonferenze complanari e concentriche di raggi r ed R, rispettivamente, con r < R. Sia quindi P un punto qualsiasi su C1 e t la tangente alla stessa C1 condotta per P. La retta t interseca C2 in due suoi punti distinti Q ed T. La corda QT da ciò risultante divide la circonferenza maggiore in due segmenti circolari S1 ed S2, con |S1| < |S2|. Detto O il centro comune alle due circonferenze, è evidente allora che, per l\'additività della misura:
 
 <center>|S1| = |UOAB| - |TOAB|...........(E.1)</center>
 
 ove UOAB rappresenta il settore circolare convesso delimitato dall\'arco AB e dai raggi OA ed OB; TOAB il triangolo di vertici O, A e B. Ora, detto 2α l\'angolo al centro della circonferenza C2 che insiste sulla corda AB, si ha che:
 
 r = R*cos(α ) ==> α = arccos(r/R) = Pi/2 - arcsin(r/R)
 
 r = R*cos(α ) ==> UOAB = α*R2 = R2*[Pi/2 - arcsin(r/R)]
 
 D\'altro canto, sfruttando la condizione di tangenza, avviene nondimeno che:
 
 |AB| = 2*(|AB|/2) = [Per il th. di Pitagora] = 2*sqrt(R2 - r2)
 
 perciocché: |TOAB| = r*sqrt(R2 - r2). Sostituendo il tutto nella (E.1):
 
 <center>|S1| = R2*[Pi/2 - arcsin(r/R)] - r*sqrt(R2 - r2)</center>
 
 che differisce tuttavia (mantenendo R ed r generici) da entrambe le formule indicate... sempre ammesso che le mie lacune geometriche non siano persino più gravi di quel ch\'io ricordassi... <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif">
 
 P.S.: comunque, la regione di piano compresa fra due circonferenze complanari e concentriche si chiama corona circolare, dacché lo chiedi!
 
 EDIT: a quanto pare qualcuno mi ha preceduto! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 16-03-2004 02:26 ]

karl · Messaggio da **karl** » 01 gen 1970, 01:33

Una piccola.... correzione:
 la generica corda di una circonferenza divide la medesima
 crf. in due parti che si chiamano  segmenti circolari

euler_25 · Messaggio da **euler_25** » 01 gen 1970, 01:33

Grazie per la necessaria puntualizzazione, Karl! Provvedo subito a correggere il mio errore! A buon rendere... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">