Una (facile) divisibilita\'

[karl]

Se <!-- BBCode Start --><B> n-1 </B><!-- BBCode End --> ed <!-- BBCode Start --><B> n+1 </B><!-- BBCode End --> sono <!-- BBCode Start --><B> numeri primi maggiori di 5 </B><!-- BBCode End -->,
<BR>allora il numero <!-- BBCode Start --><B> n^2*(n^2+16) </B><!-- BBCode End --> e\' divisibile per <!-- BBCode Start --><B> 720 </B><!-- BBCode End -->

[bh3u4m]

Si comincia ad osservare che n deve essere per forza pari. Dunque quella roba è sicuramente divisibile per 16.
<BR>720/16=45
<BR>
<BR>n è sicuramente div. per 3 in quanto in tre numeri successivi uno ed uno solo lo è. n+1 ed n-1 non possono esserlo.
<BR>La formula è divisibile per 9.
<BR>45/9=5
<BR>
<BR>Se n è div per 5 siamo a posto, altrimenti abbiamo 5 non div. n², ma se sommiamo 16 lo diventa.

[bh3u4m]

Scusatemi se la mia dimostrazione non è molto precisa ma sono di fretta.

[karl]

\"altrimenti abbiamo 5 non div. n^2, ma se sommiamo 16 lo diventa\"
<BR>Com\'e possibile che la somma tra il quadrato di un numero multiplo
<BR>di 6 ed il numero 16 sia sempre divisibile per 5?
<BR>Forse sono io che interpreto male.

[bh3u4m]

Tra 5 numeri consecutivi esiste uno ed un solo numero divisibile per 5.
<BR>Se 5 ł n --> (5 | n+2 AUT 5 | n+4)
<BR>
<BR>5 | n+4 non potrà mai verificarsi in quanto n-1 è primo.
<BR>
<BR>Considero:
<BR> 5 | n+2
<BR>
<BR> n mod 5 = 3
<BR>
<BR>si trova:
<BR> n² mod 5 = 4
<BR> n² + 16 mod 5 = 4 + 1 mod 5 = 0
<BR>
<BR>Come volevasi dimostrare...
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>

[bh3u4m]

Aspetta, manca il caso 5 | n+3.
<BR>
<BR> n mod 5 = 2
<BR>
<BR> k = n-2
<BR>
<BR> n² = (k + 2)² = k² + 4k + 4
<BR> k² + 4k + 4 mod 5 = 4
<BR>
<BR> n² + 16 mod 5 = 4 + 1 mod 5 = 0