Qualcuno conosce un metodo per trovare la formula della sommatoria dei numeri naturali da 1 ad n elevati alla m?
<BR>Ossia:
<BR>
<BR>sum (i=1 .. n) i<sup>m</sup> = 1<sup>m</sup> + 2<sup>m</sup> + ... + n<sup>m</sup>
<BR>
<BR>E\' noto infatti che per m=2 la formula è n(n+1)(2n+1)/6, per m=3 è n<sup>2</sup>(n+1)<sup>2</sup>/4, ma per non stare tutto il tempo a cercarle si può fare qualcosa?<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: bh3u4m il 24-03-2004 18:33 ]
Sommatorie
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Simo_the_wolf
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Esistono varie formule di ricorrenza,una delle quali,indicando
<BR>con S(k) la somma delle potenze k-esime dei primi n numeri
<BR>naturali,e\':
<BR><!-- BBCode Start --><B>(k+1)S(k)+(k+1)k/(1*2)S(k-1)+(k+1)k(k-1)/(1*2*3)S(k-2)+..+(k+1)S(1)+S(0)=
<BR>=(n+1)^(k+1)-1</B><!-- BBCode End -->
<BR>Per es. per k=3 risulta:
<BR>4S(3)+(4*3)/(1*2)S(2)+(4*3*2)/(1*2*3)S(1)+S(0)=(n+1)^4-1
<BR>Tenuto conto che S(2)=n(n+1)(2n+1)/6 e che S1=n(n+1)/2 ,con
<BR>facili calcoli si ricava che:
<BR>S(3)=S1^2=[n(n+1)/2]^2.
<BR>L\'inconveniente di questa formula e\' che per calcolare ad es. S(7)
<BR>occorre calcolare ,con la stessa formula ,anche tutte le somme precedenti.
<BR>Una formula piu\' diretta e\' la seguente:
<BR><!-- BBCode Start --><B>(k+1)S(k)=
<BR>=n^(k+1)+C(k+1,1)B(1)n^(k)+C(k+1,2)B(2)n^(k-1)+...+C(k+1,k)B(k)n </B><!-- BBCode End -->
<BR> dove C(k+1,j) e\' l\'ordinario coeff.binomiale e B(j) e\' lo j-esimo numero di
<BR>Bernoulli che si trova normalmente tabulato nei testi appositi .
<BR>Volendo si possono ricavare anche dalla formula precedente ponendovi n=1.
<BR>Eccone qualcuno:
<BR>B(1)=1/2,B(2)=1/6,B(3)=0,B(4)=-1/30,B(5)=0,B(6)=1/42
<BR>B(7)=0,B(<IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">=-1/30,B(9)=0,B(10)=5/66......
<BR>Come si vede i numeri B di indice dispari sono tutti nulli.
<BR>
<BR>con S(k) la somma delle potenze k-esime dei primi n numeri
<BR>naturali,e\':
<BR><!-- BBCode Start --><B>(k+1)S(k)+(k+1)k/(1*2)S(k-1)+(k+1)k(k-1)/(1*2*3)S(k-2)+..+(k+1)S(1)+S(0)=
<BR>=(n+1)^(k+1)-1</B><!-- BBCode End -->
<BR>Per es. per k=3 risulta:
<BR>4S(3)+(4*3)/(1*2)S(2)+(4*3*2)/(1*2*3)S(1)+S(0)=(n+1)^4-1
<BR>Tenuto conto che S(2)=n(n+1)(2n+1)/6 e che S1=n(n+1)/2 ,con
<BR>facili calcoli si ricava che:
<BR>S(3)=S1^2=[n(n+1)/2]^2.
<BR>L\'inconveniente di questa formula e\' che per calcolare ad es. S(7)
<BR>occorre calcolare ,con la stessa formula ,anche tutte le somme precedenti.
<BR>Una formula piu\' diretta e\' la seguente:
<BR><!-- BBCode Start --><B>(k+1)S(k)=
<BR>=n^(k+1)+C(k+1,1)B(1)n^(k)+C(k+1,2)B(2)n^(k-1)+...+C(k+1,k)B(k)n </B><!-- BBCode End -->
<BR> dove C(k+1,j) e\' l\'ordinario coeff.binomiale e B(j) e\' lo j-esimo numero di
<BR>Bernoulli che si trova normalmente tabulato nei testi appositi .
<BR>Volendo si possono ricavare anche dalla formula precedente ponendovi n=1.
<BR>Eccone qualcuno:
<BR>B(1)=1/2,B(2)=1/6,B(3)=0,B(4)=-1/30,B(5)=0,B(6)=1/42
<BR>B(7)=0,B(<IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">=-1/30,B(9)=0,B(10)=5/66......
<BR>Come si vede i numeri B di indice dispari sono tutti nulli.
<BR>
Alle mie precedenti considerazioni aggiungo queste altre:
<BR>1)Una precisazione.
<BR>I numeri di Bernoulli di indice dispari sono tutti nulli
<BR>tranne B(1) che e\' uguale ad 1/2
<BR>2) Il calcolo di S(k) si puo\' formalmente semplificare
<BR>usando il cosiddetto \"Calcolo Umbrale\" e precisamente:
<BR>si parte dall\'eguaglianza formale:
<BR><!-- BBCode Start --><B>a) (k+1)S(k)=(n+B)^(k+1)-B^(k+1)</B><!-- BBCode End -->
<BR>nello sviluppare la quale occorre avere cura di sostituire
<BR>ogni B^(j) con B(j) .Insomma ogni esponente delle B
<BR>va sostituito con l\'equivalente pedice ( che e\',per cosi\' dire,
<BR>l\"\'ombra\" del corrispondente esponente).
<BR>Ad es. per k=3 risulta:
<BR>4*S(3)=(n+B)^4-B^4 da cui:
<BR>4*S(3)=n^4+4n^3*B^1+6n^2*B^2+4n*B^3
<BR>e sostituendo esponente con pedice:
<BR>4*S(3)=n^4+4n^3*B(1)+6n^2*B(2)+4n*B(3)
<BR> Ovvero:
<BR>4S(3)=n^4+2n^3+n^2 e quindi
<BR>1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2.
<BR>Ponendo poi nella formula (a) n=1 si ha:
<BR><!-- BBCode Start --><B>(B+1)^(k+1)-B^(k+1)=k+1 </B><!-- BBCode End -->
<BR>dalla quale si possono ricavare i numeri di Bernoulli
<BR>dopo aver sviluppato e sostituito ogni esponente con la
<BR>sua \"ombra\".
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 25-03-2004 14:47 ]<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 25-03-2004 23:48 ]
<BR>1)Una precisazione.
<BR>I numeri di Bernoulli di indice dispari sono tutti nulli
<BR>tranne B(1) che e\' uguale ad 1/2
<BR>2) Il calcolo di S(k) si puo\' formalmente semplificare
<BR>usando il cosiddetto \"Calcolo Umbrale\" e precisamente:
<BR>si parte dall\'eguaglianza formale:
<BR><!-- BBCode Start --><B>a) (k+1)S(k)=(n+B)^(k+1)-B^(k+1)</B><!-- BBCode End -->
<BR>nello sviluppare la quale occorre avere cura di sostituire
<BR>ogni B^(j) con B(j) .Insomma ogni esponente delle B
<BR>va sostituito con l\'equivalente pedice ( che e\',per cosi\' dire,
<BR>l\"\'ombra\" del corrispondente esponente).
<BR>Ad es. per k=3 risulta:
<BR>4*S(3)=(n+B)^4-B^4 da cui:
<BR>4*S(3)=n^4+4n^3*B^1+6n^2*B^2+4n*B^3
<BR>e sostituendo esponente con pedice:
<BR>4*S(3)=n^4+4n^3*B(1)+6n^2*B(2)+4n*B(3)
<BR> Ovvero:
<BR>4S(3)=n^4+2n^3+n^2 e quindi
<BR>1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2.
<BR>Ponendo poi nella formula (a) n=1 si ha:
<BR><!-- BBCode Start --><B>(B+1)^(k+1)-B^(k+1)=k+1 </B><!-- BBCode End -->
<BR>dalla quale si possono ricavare i numeri di Bernoulli
<BR>dopo aver sviluppato e sostituito ogni esponente con la
<BR>sua \"ombra\".
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<BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 25-03-2004 14:47 ]<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 25-03-2004 23:48 ]