Piedi di mediane e bisettrici formano un altro triangolo rettangolo - Staffetta #3

[Annalena]

In un triangolo ABC, M è il punto medio di AB e D è il piede della bisettrice uscente da B. È noto che MD e BD sono perpendicolari. Calcolare il rapporto AB/BC.

[MarcoDamico]

In un triangolo ABC, M è il punto medio di AB e D è il piede della bisettrice uscente da B. È noto che MD e BD sono perpendicolari. Calcolare il rapporto AB/BC.

Mi dispiace ma ho deciso di basharlo

Testo nascosto:

La soluzione è $\frac{AB}{BC}=3$.
Useremo la notazione standard per gli angoli.
Sappiamo che $\sin{\angle BDM} = 1$ e così $MB=\frac{MD}{\sin{\beta/2}}=\frac{MD \cdot BD}{AD \cdot \sin{\alpha}} = \frac{AM \cdot BD}{AD \cdot \sin{\left(90^\circ-\alpha-\beta/2\right)}}$, dove la prima uguaglianza deriva dal teorema dei seni sul triangolo $\triangle BDM$, la seconda su $\triangle ABD$ e la terza su $\triangle ADM$. Ora possiamo semplificare poiché $MB = AM$ per ottenere $\sin{\left(90^\circ-\alpha-\beta/2\right)} = \frac{BD}{AD} = \frac{\sin{\alpha}}{\sin{\beta/2}}$ per il teorema dei seni su $\triangle ABD$. Ora riscriviamo come
$\cos{\left(\alpha+\beta/2\right)} \cdot \sin{\beta/2} = \sin{\alpha}$
$\cos{\alpha}\cos{\beta/2}\sin{\beta/2} - \sin{\alpha}\left(\sin{\beta/2}\right)^2 = \sin{\alpha}$

E possiamo sostituire con note identità trigonometriche:

$\frac{1}{2}\cos{\alpha}\sin{\beta} - \sin{\alpha}\left(\frac{1-\cos{\beta}}{2}\right) = \sin{\alpha}$
$\cos{\alpha}\sin{\beta} - \sin{\alpha} + \sin{\alpha}\cos{\beta} = 2\sin{\alpha}$
$\cos{\alpha}\sin{\beta} + \sin{\alpha}\cos{\beta} = 3\sin{\alpha}$
$\sin{\left( \alpha+\beta\right)} = 3\sin{\alpha}$
$\frac{\sin{\left( \alpha+\beta\right)}}{\sin{\alpha}} = 3$

Ora per concludere basta osservare che, per il teorema dei seni su $\triangle ABC$

$\frac{AB}{BC}= \frac{\sin{\gamma}}{\sin{\alpha}} = \frac{\sin{\left(180^\circ-\alpha-\beta\right)}}{\sin{\alpha}} = \frac{\sin{\left( \alpha+\beta \right)}}{\sin{\alpha}} = 3$.

[rspttr]

[alt2719]

E punto medio di MB, visto che MDB retto E centro di circonferenza per MBD, MED doppio di MBD perchè angolo al centro rispetto a angolo alla circonferenza che insiste sullo stesso arco, quindi MEDangle=ABCangle, quindi ABC simile a AED. AE=3ME=3ED, AE/ED=3=AB/BC per la similitudine

[wjude]

Sia X il punto medio di MB. Considerando (MBD), il cui centro è X, noto che l’angolo MBD è la metà di MXD, quindi ABC e AMD sono simili. Per Talete vedo che 1/3=BX:XA=CD:DA ma per il teorema della bisettrice CD:DA=BC:AB. Ah no lol era l’altro quindi 3. gg