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La soluzione è $\frac{AB}{BC}=3$.
Useremo la notazione standard per gli angoli.
Sappiamo che $\sin{\angle BDM} = 1$ e così $MB=\frac{MD}{\sin{\beta/2}}=\frac{MD \cdot BD}{AD \cdot \sin{\alpha}} = \frac{AM \cdot BD}{AD \cdot \sin{\left(90^\circ-\alpha-\beta/2\right)}}$, dove la prima uguaglianza deriva dal teorema dei seni sul triangolo $\triangle BDM$, la seconda su $\triangle ABD$ e la terza su $\triangle ADM$. Ora possiamo semplificare poiché $MB = AM$ per ottenere $\sin{\left(90^\circ-\alpha-\beta/2\right)} = \frac{BD}{AD} = \frac{\sin{\alpha}}{\sin{\beta/2}}$ per il teorema dei seni su $\triangle ABD$. Ora riscriviamo come
$\cos{\left(\alpha+\beta/2\right)} \cdot \sin{\beta/2} = \sin{\alpha}$
$\cos{\alpha}\cos{\beta/2}\sin{\beta/2} - \sin{\alpha}\left(\sin{\beta/2}\right)^2 = \sin{\alpha}$

E possiamo sostituire con note identità trigonometriche:

$\frac{1}{2}\cos{\alpha}\sin{\beta} - \sin{\alpha}\left(\frac{1-\cos{\beta}}{2}\right) = \sin{\alpha}$
$\cos{\alpha}\sin{\beta} - \sin{\alpha} + \sin{\alpha}\cos{\beta} = 2\sin{\alpha}$
$\cos{\alpha}\sin{\beta} + \sin{\alpha}\cos{\beta} = 3\sin{\alpha}$
$\sin{\left( \alpha+\beta\right)} = 3\sin{\alpha}$
$\frac{\sin{\left( \alpha+\beta\right)}}{\sin{\alpha}} = 3$

Ora per concludere basta osservare che, per il teorema dei seni su $\triangle ABC$

$\frac{AB}{BC}= \frac{\sin{\gamma}}{\sin{\alpha}} = \frac{\sin{\left(180^\circ-\alpha-\beta\right)}}{\sin{\alpha}} = \frac{\sin{\left( \alpha+\beta \right)}}{\sin{\alpha}} = 3$.