Fattorizzazione polinomio di quarto grado

[samuele.giannetti]

Salve a tutti. Qualcuno può indicarmi come posso fattorizzare il polinomio [math]x^4+2x^3+2x^2+1 in due polinomi di secondo grado a coefficienti reali?

[emmeci]

Senza perdita di generalità, posso scrivere i due fattori nella forma [math]x^2+a_i x+b_i; deve quindi essere
[math](x^2+a_1x+b_1)(x^2+a_2x+b_2)=x^4+2x^3+2x^2+1
Scrivo il sistema originato dal principio di identità dei polinomi e cerco di risolverlo; i calcoli sono facili ma lunghetti e li abrevio un po' ponendo [math]a_1=a+1. Alla fine, trovo che ciascuna delle $ a_i,b_i $ è espressa in un unico modo (razionale) in funzione di a e che si ha
[math]a^6+a^4-5a^2-1=0
Non vedo alcun modo per ottenere una soluzione esatta di questa equazione e quindi affermerei che non ci sono scomposizioni esatte; noto però che il primo membro è negativo per [math]a=1 epositivo per [math]a=\sqrt 2, quindi c'è una soluzione reale in questo intervallo, e la determino con la precisione desiderata con un metodo di soluzione approssimata. A questo punto basta completare i calcoli, ma io non ne ho la pazienza.