serie

cga · Messaggio da **cga** » 01 gen 1970, 01:33

Dimostrare che
 
 ((sum da 1 a n)n)^2 = (sum da 1 a n) n^3
 
 so che non e\' chiaro cio\' che ho scritto (spero che non sia fonte di commenti inutili) percio\' provero\' a scrivere il testo dell\'esercizio a parole
 
 Dimostrare che
 il quadrato della Somma da 1 a n di n e\' uguale alla somma da uno a n di n al cubo.
 
 Non e\' certamente difficile, la dimostrazione e\' quasi immediata, ma...

Boll · Messaggio da **Boll** » 01 gen 1970, 01:33

Scusa puoi ripetere. Come hai scritto tu sembra: Dimostra che il quadrato del prodotto fra n e la somma da 1 a n è unguale al prodotto fra n al cubo e tale somma, ma poi a parole dici tutt\'altro.

cga · Messaggio da **cga** » 01 gen 1970, 01:33

effettivamente hai ragione, quella non dovrebbe essere il prodotto ma...
 Ripeto il testo a parole
 
 Dimostrare che
 il quadrato della Sommatoria da 1 a n di ragione n e\' uguale alla sommatoria da uno a n di ragione n al cubo.
 
 Mi scuso per non essere stato chiaro e spero di esserlo stato con quest\'ultimo messaggio.

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

sum[k=1->n] k =n(n+1)/2
 sum[k=1->n] k3=n2(n+1)2/4
 
 queste due formule si domostrano facilmente per induzione, o in tanti altri modi
 
 ora basta notare che effettivamente
 
 sum[k=1->n] k3=n2(n+1)2/4=
 [n(n+1)/2]2=(sum[k=1->n] k)2

cga · Messaggio da **cga** » 01 gen 1970, 01:33

Per completare l\'esercizio dovresti effetivamente provare quanto vale
 
 Sum[k=1->n]k^3
 
 comunque non ha importanza... propongo invece il seguente esercizio
 
 Trovare la somma di
 sum[k=1->n]k^4

cga · Messaggio da **cga** » 01 gen 1970, 01:33

ovviamente del precedente esercizio si richiede non solo il risultato che magari si puo\' trovare ovunque.

bh3u4m · Messaggio da **bh3u4m** » 01 gen 1970, 01:33

1/30*n(n+1)(2n+1)(3n2+3n-1)
 
 Lo si dimostra facilmente per induzione.

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

sum[k=1->n]k^4=(n+1)*n*(2n+1)[3n(n+1)-1]/30
 
 spiego il procedimento, non ho voglia di fare i conti
 
 (k+1)5-k5=5k4+10k3+10k2+5k+1
 
 sommi questa identita su k per k=1 fino a n (il primo membro telescopizza, e hai
 (n+1)5-1=5S4+10S3+10S2+5S1+n
 dove con Si ho indicato la somma delle potenze i-esime dei primi n interi
 
 a questo punto, sapendo che
 S3=[n(n+1)/2]2
 S2=n(n+1)(2n+1)/6
 S1=n(n+1)/2
 
 sostituisci e ricavi S4. dopo aver fattorizzato il polinomiazzo ti viene la formula sopra
 
 n.b. il procedimento per trovare Si è identico, basta modificare l\'identità, piazzandoci (k+1)i+1-(k)i+1 e modificare anche il secondo membro con lo sviluppo binomiale.. [ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 15-04-2004 19:53 ]

cga · Messaggio da **cga** » 01 gen 1970, 01:33

trovare la somma con relativa dimostrazione di
 
 sum[k=1->infinito](1/k)^2
 
 sum[k=1->infinito](1/k)^4

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

la prima è la celeberrima zeta(2)=pi2/6 (thanx to Euler)
 
 la dimostrazione che ho visto io parte dallo sviluppo del seno in serie di taylor
 sen(x)=x-x3/3!+...
 che ponendo sen(x)=0 e dividendo per x diventa un\'equaz polinomilale in x
 
 0=1-x2/3!+...
 
 poniamo x2=z
 
 0=1-z/3!+z2/5!-...
 
 e per il th di viete la somma degli inversi delle radici è 1/3!=1/6. ma le radici di sen(x)=0 sono i numeri della forma x=k*pi
 
 dunque
 
 1/6=sum[k=1->inf]1/(k*pi)2
 
 quindi
 
 pi2/6=sum[k=1->inf]1/k2

cga · Messaggio da **cga** » 01 gen 1970, 01:33

comunque esiste un\'altra dimostrazione che credo sia piu\' rapida e che ti aiuta a risolvere il secondo esercizio che ho proposto.

Wilddiamond · Messaggio da **Wilddiamond** » 01 gen 1970, 01:33

il secondo fa (pi^4)/90.....mi sembra...
 a questo punto penso si dimostri come il precedente
 ...a proposito, fighissima la dimostrazione di talpuz!!

cga · Messaggio da **cga** » 01 gen 1970, 01:33

a dir il vero si dimostra molto piu\' facilmente.
 
 Comunque e\' la dimostrazione che e\' richiesta in questo esercizio non tanto la somma che, ripeto, si trova ovunque.

cga · Messaggio da **cga** » 01 gen 1970, 01:33

noto che nessuno ha ancora provato
 
 sum[k=1->infinito](1/k)^4 = (pi^4)/90
 
 l\'esercizio richiede di provare che la somma sia effettivamente quella...
 
 provateci...,

cga · Messaggio da **cga** » 01 gen 1970, 01:33

non credo sia difficile provarlo senza dire\" forse si dimostra come l\'altro ....\"
 comunque ne posto degli altri cosi forse lo stimolo viene...
 
 TROVARE e PROVARE le somme di
 
 sum[k=1 ->ifinito](-1)^(n-1) * n^(-s)
 
 sum[k=1 ->ifinito](2n +1)^(-s)
 
 sum[k=1 ->ifinito](-1)^n * (2n +1)^(-s)
 
 con s =2 e 4
 
 Provateci questa volta....