Funzionale utile

MindFlyer · Messaggio da **MindFlyer** » 01 gen 1970, 01:33

...utile per ribadire che le funzioni non sono formule (vedi problema 3 del TST). <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
 
 Costruire una funzione f dai reali ai reali tale che f(f(x))=-x per ogni x.
 
 (c\'è anche una dimostrazione molto intuitiva del fatto che f non può essere continua)

AleX_ZeTa · Messaggio da **AleX_ZeTa** » 01 gen 1970, 01:33

ehm... scusa, ma f(x) = x non è soluzione?

MindFlyer · Messaggio da **MindFlyer** » 01 gen 1970, 01:33

Ehm, no. Forse non hai visto il \"meno\", colpa del font. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
 f(f(x))=-x.

AleX_ZeTa · Messaggio da **AleX_ZeTa** » 01 gen 1970, 01:33

ah ops vero... poi qui su mozilla è tutto piccolo -.-

Biagio · Messaggio da **Biagio** » 01 gen 1970, 01:33

innanzitutto f è suriettiva e iniettiva, inoltre, se fosse continua, o è crescente o è decrescente.
 se è crescente, lo è anche f(f(x)), ma -x non lo è, quindi assurdo.
 se è decrescente, f(f(x) è crescente, ma -x non lo è, quindi è assurdo.
 dunque non è continua.
 
 la dimostrazione che, se una funzione è suriettiva, iniettiva e continua allora è crescente o decrescente è facile, oltre ad essere una cosa intuitiva.
 si assume per assurdo che esista un intervallo in cui prima sia decrescente e poi crescente (o viceversa).
 allora questa funzione ammetterà un max relativo e in un suo intorno la funione non potrà essere iniettiva.
 (quest\'ultima parte va sistemata un po\', ne sono cosciente, ma devo stud<IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif"> , e comunque l\'idea è quella, credo)
 
 ora manca tutto il resto.... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Biagio il 19-06-2004 15:19 ]

Simo_the_wolf · Messaggio da **Simo_the_wolf** » 01 gen 1970, 01:33

Dunque... Un paio di osservazioni:
 
 f(f(f(x)))=f(-x) ==> -f(x)=f(-x)
 
 quindi f(x) è dispari e quindi f(0)=0.
 
 Se f(a)=b allora f(b)=-a, f(-a)=-b, f(-b)=a
 
 e quindi un numero può essere definito solo in base alla sua immagine, al suo opposto e all\'opposto dell\'immagine quindi si crea un \"ricircolo\" per il quale allora la funzione è definita prendendo coppie di reali positivi (a,b) e dicendo che f(a)=b. Una funzione che verifica f(f(x))=-x sul piano cartesiano sarà rappresentata da punti \"sparsi\" nel piano più o meno ordinatamente.

Biagio · Messaggio da **Biagio** » 01 gen 1970, 01:33

forse questa funzione funziona:
 se 2k<=x<2k+1 ==>f(x)=x-1
 se 2k+1<=x<2k+2 ==f(x)=-x-1
 anzi....tutte quelle del tipo
 
 se 2k<=x<2k+1 ==>f(x)=x-h
 se 2k+1<=x<2k+2 ==f(x)=-x-h
 
 con k intero e h dispari, funzionano!

Biagio · Messaggio da **Biagio** » 01 gen 1970, 01:33

no, minchiata <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">
 penserò se è sistemabile, ma non credo <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif">

Biagio · Messaggio da **Biagio** » 01 gen 1970, 01:33

forse questa:
 se 4k < x <= 4k+1 ==>f(x)=x+1
 se 4k+1 < x <= 4k+2 ==>f(x)=-x+1
 se 4k+2 < x <= 4k+3 ==>f(x)=-x-1
 se 4k+3 < x <= 4k+4 ==>f(x)=x-1
 
 con k intero. non so se va [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Biagio il 20-06-2004 10:30 ]

MASSO · Messaggio da **MASSO** » 01 gen 1970, 01:33

La butto li ma non so se abbia molto senso:
 per x=0 f(0)=0
 per x>o f(x)=-|x|
 per x<0 f(x)= |x|
 mi sembra troppo banale per essere giusta <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">

Biagio · Messaggio da **Biagio** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-06-20 11:44, MASSO wrote:
 La butto li ma non so se abbia molto senso:
 per x=0 f(0)=0
 per x>o f(x)=-|x|
 per x<0 f(x)= |x|
 mi sembra troppo banale per essere giusta <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 F(f(2))=f(-2)=2=/=-2

matthewtrager · Messaggio da **matthewtrager** » 01 gen 1970, 01:33

questa dovrebbe funzionare.. e\' un po\' complicata cmq...
 
 definiamo una funzione g che manda ogni reale al piu\' piccolo intero maggiore o ugale ad esso.
 
 f(0)=0
 
 se x<0
 f(x) = x-1 se g(-x) e\' dispari
 f(x) = -x-1 se g(-x) e\' pari
 
 se x>0
 f(x) = x+1 se g(x) e\' dispari
 f(x) = -x+1 se g(x) e\' pari
 
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: matthewtrager il 20-06-2004 14:35 ]
 
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: matthewtrager il 20-06-2004 15:17 ] [ Questo Messaggio è stato Modificato da: matthewtrager il 20-06-2004 20:50 ]

matthewtrager · Messaggio da **matthewtrager** » 01 gen 1970, 01:33

[ Questo Messaggio è stato Modificato da: matthewtrager il 20-06-2004 20:21 ]

matthewtrager · Messaggio da **matthewtrager** » 01 gen 1970, 01:33

aspetta ora va meglio... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">

AleX_ZeTa · Messaggio da **AleX_ZeTa** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-06-20 14:52, matthewtrager wrote:
 <TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-06-19 13:36, MindFlyer wrote:
 
 ... f dai reali ai reali...
 
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 argh... accidenti, come non detto <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif">
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 be altrimenti era facile...
 
 f(x) = ix
 
 purtroppo nn è in R -.-\'