funzionale facilina dell\'Engel

Messaggio da **fph** » 01 gen 1970, 01:33

Find all functions $f$ which are defined for all $x \\in \\R$ and, for any $x$, $y$, satisfy
 $$
 xf(y)+yf(x)=(x+y)f(x)f(y)
 $$
 
 Il passaggio chiave e\' un po\' telefonato ma ci sono delle idee interessanti.
 
 buona soluzione...
 
 --federico
 
 ps. per gli interessati... per il mio siticino di dispense ho in fucina una quindicina di pagine \"partendo da zero\" sulle equazioni funzionali... appena gli esami cominciano a scemare la finisco.

Biagio · Messaggio da **Biagio** » 01 gen 1970, 01:33

intanto:
 per x=0 si ottiene:
 0=yf(0)(f(y)-1)
 ora ci sono due casi:
 
 primo caso:
 f(y)=1 per ogni y e, verificando, si trova che è soluzione.
 
 secondo caso:
 f(0)=0
 
 secondo caso (a):
 per ogni x f(x)=0 e, sostituendo si vede che questa è soluzione.
 
 secondo caso (b):
 esiste un x:f(x)=/=0.
 in questo caso si ha che solo f(0)=0. infatti se esistesse un h=/=0 tale che f(h)=0, si avrebbe che, sostituendo h all\'equazione iniziale al posto di y
 hf(y)=0
 da cui f(y)=0 per ogni y, ma questo contraddice che esista un x :f(x)=/=0.
 
 tutto ciò è stato detto per eliminare i casi banali.
 
 ora bisogna concentrarsi sul secondo caso (b).
 ponendo x=1, y=1 si ricava che:
 f(1)=f2(1) da cui, poché f(1)=/=0, allora necessariamente f(1)=1.
 l\'idea che viene in mente ora è analizzare i naturali(applicando l\'induzione), poi passare ai razionali e,infine, ai reali.
 questo è un esercizio che forse ho già fatto, ma non avendo ora con me l\'engel, non saprei dire. Forse ricordo che per passare ai reali il testo dava però un\'ipotesi aggiuntiva, tipo la continuità.
 siccome devo uscire, spero di completare stasera. ciauz

Boll · Messaggio da **Boll** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-06-23 13:25, Biagio wrote:
 ma non avendo ora con me l\'engel, non saprei dire
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">

sprmnt21 · Messaggio da **sprmnt21** » 01 gen 1970, 01:33

visto che e\' \"semplice\", ci provo.
 
 la relazione data per x=y diventa 2xf(x) = 2xf(x)f(x). Questa messa nella forma xf(x)(f(x)-1)=0 ci dice che, f(0) puo\' essere qualsiasi valore reale. Mentre per x=/=0 allora f(x)=0 o f(x)=1.
 Cioe\' le soluzioni devono essere del tipo:
 
 f(x)=1 per x=/=0 e f(0)=a con a reale qualsiasi
 
 e
 
 f(x)=0 per x=/=0 e f(0)=a con a reale qualsiasi.
 
 Come si puo\' verificare queste funzioni soddisfano la regola.
 
 Quindi sono tutte e sole le f(.) che ....

Messaggio da **fph** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-06-23 13:25, Biagio wrote:
 Forse ricordo che per passare ai reali il testo dava però un\'ipotesi aggiuntiva, tipo la continuità.
 siccome devo uscire, spero di completare stasera. ciauz
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Niente ipotesi aggiuntive.
 
 ciao,
 --federico
 
 ps ehi, per ora il passaggio che a me sembrava \"telefonato\" non l\'ha scritto nessuno... cmq vediamo, le premesse sembrano buone. Probably ci si arriva anche senza, e la telefonataggine era solo un\'opinione personale visto che a me e\' venuto in mente subito.

Messaggio da **fph** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-06-23 14:05, sprmnt21 wrote:
 la relazione data per x=y diventa 2xf(x) = 2xf(x)f(x). Questa messa nella forma xf(x)(f(x)-1)=0 ci dice che, f(0) puo\' essere qualsiasi valore reale. Mentre per x=/=0 allora f(x)=0 o f(x)=1.
 Cioe\' le soluzioni devono essere del tipo:
 f(x)=1 per x=/=0 e f(0)=a con a reale qualsiasi
 e
 f(x)=0 per x=/=0 e f(0)=a con a reale qualsiasi.
 Come si puo\' verificare queste funzioni soddisfano la regola.
 Quindi sono tutte e sole le f(.) che ....
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 hmm... chi ti dice che non possa essere f(x)=0 per qualche valore =/=0 e f(x)=1 per qualche altro valore?
 ciao,
 --federico

matthewtrager · Messaggio da **matthewtrager** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-06-23 22:45, fph wrote:
 
 hmm... chi ti dice che non possa essere f(x)=0 per qualche valore =/=0 e f(x)=1 per qualche altro valore?
 ciao,
 --federico
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 per questo non va bene quello che ha detto biagio nel \"secondo caso (b)\"? ha dimostrato che se esiste un valore per cui f(x)=1 allora solo f(0) puo\' dare 0...

Messaggio da **fph** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-06-24 11:29, matthewtrager wrote:
 <TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-06-23 22:45, fph wrote:
 hmm... chi ti dice che non possa essere f(x)=0 per qualche valore =/=0 e f(x)=1 per qualche altro valore?
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 per questo non va bene quello che ha detto biagio nel \"secondo caso (b)\"? ha dimostrato che se esiste un valore per cui f(x)=1 allora solo f(0) puo\' dare 0...
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 ciao Matthew.
 No, rispondevo solo a Sprmnt (=Rocco? con questi nick non ci capisco piu\' nulla...). Mi sembra che quello che ha detto Biagio finora sia corretto, e anzi risponde alla mia obiezione.
 
 Anzi, credo che mettendo insieme quello che hanno gia\' detto loro due si arriva praticamente a una soluzione completa... basta solo fare attenzione e non perdersi nei vari casi.
 (in effetti forse l\'avevo sottovalutata... non e\' poi cosi\' facilina, anzi, questa casificazione richiede tecnica).
 
 btw, posso anche dirlo, credo che ora sia ininfluente perche\' siete gia\' arrivati piu\' avanti: il passaggio che a me e\' venuto in mente subito e\':
 supponiamo per ora che fx e fy siano =/=0: allora dividiamo e otteniamo
 
 x/fx+y/fy=x+y
 
 cioe\'
 x/fx - x=y/fy - y
 
 ora, il membro di sx dipende solo da x e quello di dx solo da y, e quindi (questo e\' un \"trucco ricorrente\") x/fx - x = costante per tutti gli x tali che fx=/=0...
 
 ciao,
 --f

MindFlyer · Messaggio da **MindFlyer** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-06-23 16:03, fph wrote:
 il passaggio che a me sembrava \"telefonato\" non l\'ha scritto nessuno
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Cosa significa telefonato?

Biagio · Messaggio da **Biagio** » 01 gen 1970, 01:33

mai sentito parlare di \"tiro telefonato\"?

MindFlyer · Messaggio da **MindFlyer** » 01 gen 1970, 01:33

No, pero\' conosco il colpo di telefono.

sprmnt21 · Messaggio da **sprmnt21** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-06-23 22:45, fph wrote:
 hmm... chi ti dice che non possa essere f(x)=0 per qualche valore =/=0 e f(x)=1 per qualche altro valore?
 
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Nessuno me lo dice <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif">.
 
 
 Fino a questo punto anche la funzione 0 per x€Q e 1 per x€R/Q potrebbe andare bene.
 
 Avevo notato, ponendo x+y=0, che le funzioni devono essere pari. La cosa pero\' non mi sembrava rilevante in quanto le funzioni che (erroneamente)avevo pensato completassero l\'insieme soluzione erano pari.
 
 Invece adesso diventa essenziale per escludere fra le funzioni che \"oscillano\" fra 0 e 1 quelle che non sono pari.
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: sprmnt21 il 01-07-2004 11:21 ]

sprmnt21 · Messaggio da **sprmnt21** » 01 gen 1970, 01:33

mi sorge un dubbio esistenziale. Come si fa, in questo caso, dato che le possibili funzioni soluzioni sono infinite, a provarle tutte per essere sicuri di aver trovato tutte e sole le soluzioni dell\'EF?
 Con un po\' di aiuto abbiamo trovato che sono possibili soluzioni tutte le f che per x=/=0 valgono 1 da qualche parte e 0 in tutti gli punti. Ragionando suio casi tali che x+y=0 si limitano le soluzioni alle sole funzioni pari. Ma come assicurarci che non vi siano altri \"vincoli\" che limitino la classe delle soluzioni?

sprmnt21 · Messaggio da **sprmnt21** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-06-24 12:47, fph wrote:
 [btw, posso anche dirlo, credo che ora sia ininfluente perche\' siete gia\' arrivati piu\' avanti: il passaggio che a me e\' venuto in mente subito e\':
 supponiamo per ora che fx e fy siano =/=0: allora dividiamo e otteniamo
 
 x/fx+y/fy=x+y
 
 cioe\'
 x/fx - x=y/fy - y
 
 ora, il membro di sx dipende solo da x e quello di dx solo da y, e quindi (questo e\' un \"trucco ricorrente\") x/fx - x = costante per tutti gli x tali che fx=/=0...
 
 ciao,
 --f
 
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 
 Federico, se non sbaglio, l\'unica conclusione che si puo trarre dal fatto che
 
 x/fx+y/fy=x+y
 
 e\' che f e\' pari, dato che da questa deriva
 
 x/fx - x=-(y/fy - y) (e la funzione identita\' e\' dispari)
 
 
 e non
 
 x/fx - x=y/fy - y.

Messaggio da **fph** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-07-01 17:26, sprmnt21 wrote:
 Federico, se non sbaglio, l\'unica conclusione che si puo trarre dal fatto che
 x/fx+y/fy=x+y
 e\' che f e\' pari, dato che da questa deriva
 x/fx - x=-(y/fy - y) (e la funzione identita\' e\' dispari)
 e non
 x/fx - x=y/fy - y.
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 ops... errore di conto <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
 Comunque, meglio ancora: sapendo che
 x/fx - x=-(y/fy - y)
 fissiamo x=y e ricaviamo che x/fx-x=-(x/fx-x) quindi x/fx-x=0 per ogni x tc fx=/=0, e percio\' fx=0 oppure fx=1 per ogni x=/=0
 
 Ora, questa non e\' ancora la soluzione \"definitiva\", ci sono altri vincoli, come hai giustamente notato.
 
 Escludiamo per ora il valore 0 (cioe\' lavoriamo su R\\0) e otteniamo queste tre possibilita\':
 -fx=0 ovunque
 -fx=1 ovunque
 -esistono almeno un x tc fx=0 e un y tc fy=1: ma allora usiamo questi x e y e otteniamo x*1=0, assurdo perche\' supponevamo x=/=0.
 
 Allora dev\'essere (fuori da 0) fx=0 o fx=1 identicamente.
 
 Come possiamo estendere le soluzioni al valore 0?
 -ponendo x=y=0 non ricaviamo vincoli aggiuntivi.
 -ponendo x=0, y=/=0: se fy=1, allora si ha
 yf(0)=yf(0): nessun vincolo aggiuntivo, quindi f(0) puo\' essere qualunque
 se invece fy=0, allora si ha yf(0)=0, per cui dev\'essere f(0)=0
 
 Le soluzioni dovrebbero allora essere (se non sto sbagliando qualcosa, sto ricostruendo la dimostrazione qui):
 - f(x)==0
 - f(x)==1
 - f(x)= 1 per x=/=0, un valore qualunque per x=0.
 
 e abbiamo gia\' verificato che le soluzioni sono accettabili.
 
 Vi torna? spero di si\' (anche perche\' l\'Engel arriva a una soluzione diversa... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> )
 
 ciao,
 --federico
 
 ps per sprmnt: in generale l\'unico modo per essere sicuri che non ci sono altri vincoli e\' controllare a mano che tutte le funzioni trovate verificano l\'equazione: cioe\', per esempio, volendo provare che tutte le funzioni a valori 0/1 soddifano: sia f una generica funzione che prende 1 su alcuni valori e 0 su altri; facciamo i 4 casi:
 fx=fy=1; fx=0, fy=1; fx=1, fy=0; fx=fy=0 e svolgiamo i conti... [si capisce qualcosa in quello che ho scritto?] [ Questo Messaggio è stato Modificato da: fph il 01-07-2004 17:48 ]