Polinomi

[karl]

Non so se vi e\' gia noto, ma risolvete questo.
<BR>Si consideri la successione strettamente crescente di 4 numeri interi qualsiasi
<BR>x(0),x(1),x(2),x(3).
<BR>Dimostrare che ogni polinomio di 3°grado del tipo:
<BR>P(x)=x^3+a1*x^2+a2*x+a3
<BR>assume in xi valori P(xi) di cui almeno uno e\',in modulo, non inferiore a 3/4.
<BR>Il quesito e\' generalizzabile al caso di n+1 numeri interi
<BR>x(0),x(1),x(2),....,x(n-1),x(n)
<BR>e ad un polinomio del tipo x^n+a1*x^(n-1)+....+a(n-1)*x+an;
<BR>in tal caso al valore 3/4 occorre sostituire n!/2^n.
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<BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 24-06-2004 23:45 ]<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 27-06-2004 15:37 ]

[karl]

Forse con qualche formula d\'interpolazione...
<BR>

[karl]

Per esempio questa di Newton (mi pare si chiami):
<BR>f(x)=f(xo)*(x-x1)(x-x2)(x-x3)/((xo-x1)(xo-x2)(xo-x3))+
<BR>f(x1)*(x-xo)(x-x2)(x-x3)/((x1-xo)(x1-x2)(x1-x3))+
<BR>+f(x2)*(x-xo)(x-x1)(x-x3)/((x2-xo)(x2-x1)(x2-x3))+
<BR>+f(x3)*(x-xo)(x-x1)(x-x2)/((x3-xo)(x3-x1)(x3-x2))
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[karl]

Utilizzando l\'interpolazione,eguagliamo i coefficienti
<BR>inziali di P(x) e del polinomio interpolatore:
<BR>1=P(xo)/((xo-x1)(xo-x2)(xo-x3))+
<BR>+P(x1)/((x1-xo)(x1-x2)(x1-x3))+
<BR>+P(x2)/((x2-xo)(x2-x1)(x2-x3))+
<BR>+P(x3)/((x3-xo)(x3-x1)(x3-x2))
<BR>E passando ai moduli:
<BR>1<=|P(xo)|/|(xo-x1)(xo-x2)(xo-x3)|+
<BR>+|P(x1)|/|(x1-xo)(x1-x2)(x1-x3)|+
<BR>+|P(x2)|/|(x2-xo)(x2-x1)(x2-x3)|+
<BR>+|P(x3)|/|(x3-xo)(x3-x1)(x3-x2)|
<BR>Se ora M e\' il massimo dei numeri |P(xi) |,si ha:
<BR>1<=M*[1/(|(xo-x1)(xo-x2)(xo-x3)|)+ 1/(|(x1-xo)(x1-x2)(x1-x3)|)+
<BR>+1/(|(x2-xo)(x2-x1)(x2-x3)|)+ 1/(|(x3-xo)(x3-x1)(x3-x2)|)].
<BR>Ora ,per le ipotesi fatte,risulta:
<BR>|(xo-x1)(xo-x2)(xo-x3)|>=1*2*3=6--->1/(|(xo-x1)(xo-x2)(xo-x3)|)<=1/6
<BR>|(x1-xo)(x1-x2)(x1-x3)|>=1*1*2=2--->1/(|(x1-xo)(x1-x2)(x1-x3)|)<=1/2
<BR>|(x2-xo)(x2-x1)(x2-x3)|>=2*1*1=2--->1/(|(x2-xo)(x2-x1)(x2-x3)|)<=1/2
<BR>|(x3-xo)(x3-x1)(x3-x2)|>=3*2*1=6--->1/(|(x3-xo)(x3-x1)(x3-x2)|)<=1/6
<BR>E quindi,a fortiori,si ha:
<BR>1<=M(1/6+1/2+1/2+1/6)--->M>=3/4.
<BR>Ma M e\' il massimo degli |P(xi)| e dunque il quesito e\' provato.
<BR>[Mi scuso per la pesantezza delle notazioni,ma e\' per la chiarezza]
<BR>Il procedimento e\' generalizzabile,come detto nel post iniziale.
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<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 29-06-2004 23:51 ]