Limite simpatico

Messaggio da **EvaristeG** » 01 gen 1970, 01:33

Questo lo potevano dare come quesito di maturità...ma tant\'è...
 
 lim[n -> Inf] (PROD[k=1,...,n](1+k/n))^(1/n)
 
 Buon divertimento e, mi raccomando, nel pensare la soluzione seguite la KISS rule:
 Keep It Simple, Stupid!
 
 <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

MindFlyer · Messaggio da **MindFlyer** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-06-26 00:04, EvaristeG wrote:
 Questo lo potevano dare come quesito di maturità...
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Si\', eh?... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif">

ChoBo · Messaggio da **ChoBo** » 01 gen 1970, 01:33

Dopo alcuni passaggi giungo al fatto che il tuo limite è equivalente al seguente:
 
 lim (n -> inf) 1/n * [(2n)!/n!]^(1/n)
 
 Da cui posso facilmente concludere che 1 <= lim <= 2
 
 Purtroppo però nn ho idea a cosa tenda quel coso, nn ho mai fatto limiti col fattoriale...

Messaggio da **EvaristeG** » 01 gen 1970, 01:33

Mind, sì...c\'è un sistema da liceo per farlo.
 
 ChoBo...nn so che dirti...prova a scriverli, i passaggi con cui arrivi lì.
 Sul fatto che il limite è compreso tra 1 e 2, ok.
 Ti giuro che di limiti con i fattoriali nn c\'è gran bisogno

Biagio · Messaggio da **Biagio** » 01 gen 1970, 01:33

lim[n -> Inf] (PROD[k=1,...,n](1+k/n))^(1/n)
 = lim[n -> Inf] (PROD[k=1,...,n](1+k/n)^(1/n))
 =lim[n -> Inf] (PROD[k=1,...,n](1+k/n)^((n/k)(k/n^2)))
 =lim[n -> Inf] (PROD[k=1,...,n]e^(k/n^2)))
 =lim[n -> Inf] e^(SUM[k=1,...,n](k/n^2))
 =lim[n -> Inf] e^((n^2+n)/2n^2)
 =lim[n -> Inf] e^((n+1)/2n)=e^(1/2)

Messaggio da **FrancescoVeneziano** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-06-26 14:02, Biagio wrote:
 ...
 =lim[n -> Inf] (PROD[k=1,...,n](1+k/n)^((n/k)(k/n^2)))
 =lim[n -> Inf] (PROD[k=1,...,n]e^(k/n^2)))
 ...
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 questo passaggio è sbagliato, non è lecito mandare al limite solo \"un pezzo\" dell\'espressione in questo modo.
 Infatti il risultato che ottieni è circa 1.65 mentre, applicando la disuguaglianza tra le medie, si ottiene che
 
 lim[n -> Inf] (PROD[k=1,...,n](1+k/n))^(1/n) <=
 <= lim[n -> Inf] (1/n)*SUM[k=1,...,n](1+k/n) =
 = lim[n -> Inf] (n+(n+1)/2)/n =
 = 3/2
 
 CaO
 Francesco

Biagio · Messaggio da **Biagio** » 01 gen 1970, 01:33

mmm...strano <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif">
 
 lim[n -> Inf] (PROD[k=1,...,n](1+k/n))^(1/n) <=
 lim[n -> Inf] (SUM[k=1,...,n]((n+k)/n)/n per la disug. tra media aritmetica e geometrica, ma quest\'ultimo tende a 3/2, mentre per quanto mostrato prima
 lim[n -> Inf] (PROD[k=1,...,n](1+k/n))^(1/n)=e^(1/2)>3/2
 
 com\'è possibile???? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif">

Biagio · Messaggio da **Biagio** » 01 gen 1970, 01:33

occaz, abbiamo avuto la stessa idea di confutazione <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif">
 comunque in effetti l\'erore sta proprio lì.
 evabbé <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Biagio il 26-06-2004 14:18 ]

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

io prenderei il logaritmo di quell\'espressione, in modo da trasformare la produttoria in una sommatoria
 
 poi forse si può interpretare come una somma di riemann, boh
 
 prima o poi ci guarderò per bene <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

lim (n-> inf) 1/n * sum log(1+k/n) = int[0,1](log(1+x))dx
 
 e da qui si fa
 
 carina la \"KISS rule\"
 
 <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 26-06-2004 14:58 ]

ChoBo · Messaggio da **ChoBo** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-06-26 14:56, talpuz wrote:
 lim (n-> inf) 1/n * sum log(1+k/n) = int[0,1](log(1+x))dx
 
 e da qui si fa
 
 carina la \"KISS rule\"
 
 <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
 
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 26-06-2004 14:58 ]
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>Ottima idea...
 
 Si svolgono i conti e viene 4/e <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
 
 Bravo

MindFlyer · Messaggio da **MindFlyer** » 01 gen 1970, 01:33

Si\', ottimo Talpuz!
 Allora, la soluzione e\' subordinata alla conoscenza delle seguenti cose:
 - come traformare una produttoria in una sommatoria di logaritmi,
 - la primitiva del logaritmo,
 - la definizione di integrale di Riemann.
 Il tutto unito alla capacita\' di mettere le cose insieme. Per la maturita\' serebbe andato bene come problemone in alternativa a tutto il resto!

MindFlyer · Messaggio da **MindFlyer** » 01 gen 1970, 01:33

No, in realta\' la primitiva del logaritmo non e\' indispensabile per fare un integrale definito di un logaritmo, basta saper integrare la funzione inversa, e \"correggerla\" sommando e sottraendo gli opportuni rettangoli. Ma neanche questa e\' una passeggiata, soprattutto se te la devi inventare al volo perche\' non sai integrare il logaritmo!

Messaggio da **EvaristeG** » 01 gen 1970, 01:33

L\'integrale del logaritmo c\'è su qualsiasi libro del liceo ed è l\'esempio classico con cui si spiega l\'integrazione per parti.
 L\'unico passaggio ardito è prendere il logaritmo di una produttoria per trasformarlo in una sommatoria. La definizione di integrale definito, alle superiori, di solito si fa proprio scomponendo l\'interavallo in n parti e facendo tendere n all\'infinito.
 
 Bravissimo talpuz!!!
 
 BTW: la KISS rule è l\'unico ricordo che mi ha lasciato uno dei primi libri di programmazione che ho letto.. (BASIC...anticaglia).
 
 CMQ : era l\'ultimo di quattro pagine di problemi proposti come allenamento per i Putnam...
 <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif"> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: EvaristeG il 26-06-2004 19:57 ]